Approximation loi binomiale par une loi normale

[invitee37bb01f]

Bonjour,


J'ai un petit problème avec certains exercices d'approximation d'une loi binomiale par une loi normale.
En fait j'ai remarqué que pour les résolutions des exo on utilisait cette approximation de 2 manières différentes selon les cas.
Les paramètres de la loi normale changent en fonction de ces cas.

Pour le 1er :
µ = np et σ2 = np(1 − p) avec P(X< ou > "a") qu'on va approximer

et pour le second =
µ = p et σ2 = p(1 − p)/n avec P( (Y/n)-p < ou > "a") qu'on va approximer

ce que j'aimerais surtout savoir c'est comment choisir quel cas est le bon ?


Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Tu devrais regarder de plus près le contexte de tes méthode. Dans le premier cas, on a effectivement cette situation dans l'approximation d'une loi Binomiale par une loi Normale de même moyenne et de même paramètre. Dans le deuxième, on n'est pas en train d'approximer une loi binomiale. Donc on est dans un cas différent, dont il faut que tu comprennes les tenants et aboutissants.

A noter : ces approximations ne sont raisonnables que au voisinage de la moyenne µ. Utiliser la première pour calculer p(X>100) où X suit une loi binomiale B(500;0,05) donne un résultat catastrophiquement faux.

Cordialement.

[invitee37bb01f]

Je sais que pour approximer une loi binomiale en une loi normale il faut remplir certaines conditions.
On ne peut donc pas calculer p(X>100) où X suit une loi binomiale B(500;0,05) car p=0.05 non ?


En tout cas pour la seconde je ne sais absolument pas comment on a obtenu de tels paramètres

[invitee37bb01f]

En fait pour le second cas il s'agissait d'une proportion, c'est plus facile à distinguer maintenant que je sais ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

...
On ne peut donc pas calculer p(X>100) où X suit une loi binomiale B(500;0,05) car p=0.05 non ?

Non, ce n'est pas la bonne raison; B(50000;0.05) s'approxime très bien au voisinage de 2500 par une loi Normale.
Tu dois confondre avec une question de proportions, relis sérieusement ton cours.

Cordialement

[invitee37bb01f]

Je ne vois que 2 raisons alors selon mes notes. D'une part il faut prendre en compte le correcteur de yates (+0.5 ou -0.5) et vu qu'il s'agit d'un cas discret > est totalement différent de >=.

[gg0]

Pour ce que je cite au message #2, la correction de Yates devient sans utilité. L'erreur qu'on fait en remplaçant par une loi Normale est bien trop énorme (plusieurs ordres de grandeur).
Essaie avec un tableur, par exemple pour B(40;0,9), de moyenne 36, d'écart type environ 1,9 (racine de 3,6). Si on calcule P(X<20) avec la loi binomiale on trouve 1,96.10^(-11); avec l'approximation Normale, on trouve 1,69.10^(-17), et avec la correction de Yates 1,71.10^(-18), soit environ 10 millions de fois trop peu !!!!

Quand n est très grand, les différences entre deux valeurs successives deviennent plus faibles, mais ce phénomène (approximation très fausse loin de la moyenne) s'accentue.

[invitee37bb01f]

Merci je comprends mieux. Donc tout dépend de la grandeur de n. Mais peut-on effectuer ce calcul sans tableur ? Je ne sais pas si mon professeur m'interrogera avec de telles valeurs..

[gg0]

Si tu es en lycée, à priori on ne te fera calculer des probabilités par intervalles que près de la moyenne. Donc pour le lycée, ce que j'ai expliqué ne sert pas. Mais on n'apprend pas que pour avoir des notes

[invitee37bb01f]

Je suis en première bac en fait. Mais c'est vrai, c'est toujours un plus de savoir ceci.

Merci !

[gg0]

Ok.

A priori, ton prof pose en examen des questions en fonction du cours qu'il a fait