Anneau local / Anneau complet

[Anonyme007]

Bonjour,

On sait que, par définition, un espace annelé est un couple où est un espace topologique, et est un faisceaux d'anneaux appelé faisceau structural, et qu'un espace localement annelé est un espace annelé tel que l'anneau des germes est un anneau local pour tout .
Alors, ce qui me pousse à ouvrir ce fil est le fait de savoir si le faisceau structural de aurait caché une information locale à mettre en évidence, sinon, pourquoi exige-t-on que les fibres soient des objets locaux ( anneaux locaux ).
Si par exemple, est une variété analytique complexe de dimension ( i.e : surface de Riemann ), et que est le faisceau des fonctions holomorphes sur , alors, la fibre de en est qui est un anneau local qui s'identifie à l'anneau des séries convergentes en de rayon , avec : l'injection canonique.
Pour le montrer, il suffit de considérer l'application : définie par : avec : et montrer que c'est un isomorphisme.
Alors, le fait que soit un anneau local ( objet local ), me laisse penser que est d'un coté un objet ponctuellement isomorphe à , et qu'il est localement isomorphe à un objet local que j'ignore. Quel est cet objet local dont il est question ?

Et finalement, quelle est la place de la notion d'anneau complet dans ce sujet, à coté de la notion d'anneau local ?

Merci d'avance.
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[AncMath]

Le fait d'exiger que les tiges soient des anneaux locaux est extrêmement naturelle. Ce sont le cas de tous les exemples que l'on rencontre. D'autre part on veut que sur un espace annelé le faisceau structural ressemble à une faisceau de fonctions, et les tiges de faisceau de fonctions sont typiquement des anneaux locaux.
D'autre part je comprend pas ta question l'anneau des séries entières convergentes est local. Donc quel est le souci ?

[Anonyme007]

Ma question, est pourquoi par exemple pour un schéma, on exige que les soient des anneaux locaux. J'ai l'impression qu'il y'a une information de nature locale cachée dans cette notion, d'où le nom anneau ''local'' qui est une notion d'ordre topologique.
A quoi correspond aussi la notion d'anneau complet en théorie des schémas ?
Merci.

[AncMath]

On n'exige pas du tout que les anneaux soient locaux pour tout ouvert. Où as tu vu ça ? Ce qu'on demande se sont que les tiges soient des anneaux locaux pour tout . Ça n'a rien à voir.
Si on pense à un sous ensemble algébrique de muni du faisceau des fonctions algébriques c'est à dire qui sont localement le quotient de deux polyomes, à valeur dans où est algébriquement clos. Alors les tiges de ce faisceau sont locales. Comme c'est ce fait qu'on essaie de généraliser c'est normal d'imposer cette condition. Du reste l'ideal maximal de se pense naturellement comme l’idéal des fonctions qui s'annulent en le point. Quel serait l’interprétation d’idéaux maximaux différents ?

La notion d'anneau complet est une notion d'algèbre commutative, certes utilisée en géométrie algébrique mais quelle est la question ? Compléter les anneaux locaux des schémas ça permet d'utiliser plus de techniques et d'établir une parenté encore plus serrée avec la géométrie complexe.

C'est aussi une manière de palier la pauvreté de la topologie de Zariski qui fait que les anneaux locaux n'ont souvent pas les propriétés auxquelles on s'attend par rapport à leurs collègues analytiques. On retrouve souvent des propriétés plus intuitives en passant à la complétion. Par exemple les anneaux locaux en des points lisses et fermés de variétés algébriques de même dimensions ne sont pas isomorphes en général. Ce qui est tres étonnant ! Si l'on passe à la complétion ils deviennent isomorphes à ce à quoi on s'attend, l'anneau des séries formelles en n-indéterminées où n est la dimension de la variété.

Autre exemple : les morphismes étales induisent un isomorphisme sur les complétions des tiges, ce qui est quand même le minimum qu'on attendrait de "bons anneaux locaux" puisque les morphismes étales sont justement censés être les isomorphismes locaux, mais ils ne le sont pas si on regarde simplement les anneaux locaux sans complétion préalable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Merci.
Une intersection d'anneaux locaux est -t-elle un anneau local ?

[AncMath]

!?
Qu'est ce donc diable qu'une intersection d'anneaux en général ?

[Anonyme007]

ça n'existe pas tu veux dire ?

[AncMath]

Exister, ça existe. Ce sont des ensembles après tout, mais ça ne correspond à rien de prendre l'intersection de deux anneaux. C'est quoi l'intersection de et de par exemple ? Ça va dépendre totalement de la construction que tu fais des deux.

Tu peux éventuellement prendre l'intersection de deux sous anneaux d'un anneau donné. Là oui ça aurait déjà un peu plus de sens.

[Anonyme007]

Pour que tu comprennes où je voudrais en venir :
On a :
Alors, je me dis que si une intersection quelconque d'anneaux locaux est un anneau local, alors est un anneau local, non ?

[AncMath]

Bien sur que non n'est pas local, enfin ! As tu regardé ne serait-ce qu'un seul exemple ? Prend .

Quant à ca n'a du sens que si est intègre puisque là justement tous les localisés sont des sous anneaux du corps de fonctions de .

[Anonyme007]

Bien sur que non n'est pas local, enfin ! As tu regardé ne serait-ce qu'un seul exemple ? Prend .

ça fait longtemps que je ne fais pas de théorie des schémas :
, et n'est pas local, non ?

[AncMath]

Ben non n'est pas local.

[Anonyme007]

D'accord, merci.