Théorie des motifs - Théorie de Galois motivique

[Anonyme007]

Bonjour,

Suite à la discussion initiée sur le fil suivant : http://forums.futura-sciences.com/ma...rie-motfs.html , je me permets d'ouvrir un nouveau fil afin de poser les questions suivantes :

Quel est le rôle de la théorie de Galois motivique dans la théorie des motifs ?
Pourquoi une théorie de Galois Motivique ?
Il y'a une fameuse conjecture dite conjecture des périodes de Grothendieck qui est encore une question ouverte, mais quelle information utile tire-t-on de cette conjecture ?
Quel est son lien avec les fameuses conjectures de transcendance, comme la conjecture de Schanuel ... etc ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[AncMath]

Je ne comprend pas très bien le sens de tes questions alors je fais faire une réponse générale en espérant que cela réponde à tes questions. Je détaillerai à l'avenant.

Les aspects Galoisien en théorie des motifs proviennent des structures tannakiennes qui apparaissent de manière naturelles sur certaines catégorie de motifs. Une catégorie tannakienne est une catégorie monoïdale symétrique possédant certaines propriétés modelée sur la catégorie des représentations d'un groupe pro-algébrique. En fait une catégorie tannakienne est toujours équivalente à la catégorie des représentations d'un groupe pro-algébrique. Ce groupe c'est le groupe de Galois de la catgéorie.

Si l'on considère la catégorie des motifs d'Artin, qui est la catégorie des motifs sur de dimension 0, alors le groupe de Galois de cette catégorie est le groupe de Galois absolu de . On retrouve la théorie de Galois, du moins dans sa variante catégorique.

Certaines catégorie de motifs ont une structure tannakienne ou l'on aimerait bien qu'elles en aient une. Notamment pour posseder une theorie de Galois des périodes qui serait très riche et utile, notamment pour l'arithmétique.

La conjecture des Périodes de Grothendieck n'est pas reliée directement à ça, enfin on peut en donner une formulation de groupe de Galois motivique, elle prédit que les relations algébriques entre périodes est donnée par l'existence de cycle sur les variétés algébriques. Inutile de dire qu'on est à 1000 lieues de savoir démontrer cette conjecture.

[AncMath]

Quant à la conjecture de Schanuel, je crois que certains "programmes motiviques" élargissant un petit peu la conjecture des périodes l'impliquent. Je n'en suis pas sûr que ce soit le cas de la conjecture des périodes proprement dite.

[azizovsky]

pour la culture mathématique https://www.youtube.com/watch?v=86nIR8Igbyc

[A voir en vidéo sur Futura]