Equation différentielle

[Nanipabullophile]

Bonjour,
Voilà, j'aurais une question en mathématique et plus particulièrement pour une équation différentielle. Il s'agit de l'équation .

Pouvez-vous la résoudre ?

Merci pour toutes vos réponses
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[JPL]

Comme je suppose que c’est pour un exercice la réponse est qu’on ne fera pas le travail à ta place. Lis d’abord http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html et fais le nécessaire, tu auras de l’aide ensuite.

[Nanipabullophile]

Je demande pas la réponse toute faite, comme elle semble pas facile, j'aimerais plutôt une piste pour commencer, un site d'équations semblables ou quelque chose comme ça ... Merci

[JPL]

Mais qu’as-tu tenté toi-même, même si cela n’a pas marché ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nanipabullophile]

La réponse est , j'ai essayé par substitution et ça marche, mais je cherche comment on arrive à cette solution sans la connaître avant.

[Nanipabullophile]

Merci .

[Resartus]

Bonjour,
Ce genre d'équation du second ordre qui ne contient pas t se résout en la transformant en deux équations à deux variables, mais du premier ordre :

on pose dx/dt=v, et on a :
dv/dt=f(x) ici f(x)=a.exp(bx)

En divisant, on obtient dv/dx=f(x)/v soit vdv=f(x)dx, ou d(v²) =2f(x)dx

Si vous avez fait un peu de mécanique, vous aurez peut-être constaté que cela ressemble furieusement à une équation de mouvement
avec une force f(x) qui ne dépend que de la position. Si on pose F(x) le potentiel correspondant à f(x) on va trouver que v²/2+F(x)=cste
(conservation de l'énergie totale)

La suite n'est pas compliquée (mais pas toujours faisable analytiquement) on trouve v fonction de x, puis on intègre une fois de plus pour trouver x

[Lion987]

Bonjour, je suis totalement bloqué malgres de nombreuses recherches sur internet alors je me permets de d'ecrire ici....
Savez-vous si il est possible de resoudre cette equation differentielle :

y'' + a(y')^2+ by = 0 .... j'ai vu des linearisation sur internet mais elle ne ressemblaient vraiment pas a mon cas .... :/

Merci d'avance vous me sauveriez la vie !!

[Resartus]

Bonjour,
Le début est facile, en appliquant la méthode que j'ai indiquée plus haut :
on pose v=dy/dx et on a dv/dx=-av^2-by soit dv/dy=-(av^2+by)/v ou encore dv²/dy=-2av²-2by qui est une équation différentielle linéaire du premier ordre en v², avec un second membre polynomial...Vous avez dû étudier cela...

On peut donc exprimer v fonction de y : v=f(y). Or, v valant dy/dx, on a dx=dy/f(y) dont l'intégration va donner x fonction de y puis on inverse la fonction pour avoir y fonction de x.

Mais au vu de la complexité de la solution en v (racine de [exponentielle+ polynome]) je soupçonne qu'il n'y aura pas, sauf cas très particulier, de solution analytique, et je crains qu'il ne faille se contenter de méthodes numériques...

[Lion987]

Tout dabord merci pour votre reponse mais je n'ai pas saisit comment vous passez a dv²/dy = -2av²-2by .... l'astuce mechappe :/ si on multiplie dv/dy par v ca ne donne pas dv²/dy .... non ? j'ai bien vu vos coefficient 2 ... il doit donc y avoir une astuce que je n'ai pas vu ...


qu'entendez vous par methode numerique ?? calcul par iterations ?

[Nanipabullophile]

Bonjour Resartus,

Merci beaucoup pour votre réponse, je vais l'appliquer à cette équation

[Resartus]

Bonjour,

Ben, on apprend en première que la dérivée de V^2, c'est 2.V.V'...
et si l'on exprime cela en notation différentielle d(v^2)/dx=2v.dv/dx

Mais je suis surpris qu'on vous demande de résoudre des équations aussi compliquées si vous n'avez pas acquis ce background mathématique...

Et en effet, les cas où on peut trouver les primitives par des fonctions élémentaires sont bien sûr celles qu'on apprend en cours, mais la nature n'est pas toujours aussi gentille avec nous... et il faut alors se contenter de traiter ces équations numériquement, mais cela demande quand même certaines précautions . On ne peut pas se contenter d'un calcul itératif tout bête du premier ordres si on veut éviter des divergences des solutions. Si cela vous intéresse, vous pouvez voir ceci : https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A...9rences_finies

[Lion987]

Merci beaucoup pour votre reponse,
je ne suis plus en cours mais en stage de fin d'etude et les equations differentielles ca faisait un petit moment que je n'y avait plus touché !!
Bonne journéee

[Resartus]

Bonjour,

Il existe des méthodes de résolution approximative des équations différentielles, qui sont un peu à mi chemin entre résolution exacte et méthodes numériques. Ce sont les méthodes perturbatives. C'est à dire qu'on part d'une solution exacte d'un problème voisin, et on voit comment les petits changements changent légèrement la solution. Cela a fait les délices (?) des astronomes du 19ème siécle...

Dans votre cas, si a est très petit, la solution sera périodique et proche de Y0.cos(wt+phi), ou w vaut racine(b), qui serait la solution de y''+by=0
En posant y=z(x).cos(wt+phi), on se ramène à une équation différentielle pour z, qu'on ne sait pas non plus résoudre, mais dont on peut chercher une solution approchée (qui sera proche d'une constante, mais il faut chercher le terme suivant : il sera lui aussi en cos mais avec un w différent et avec une amplitude beaucoup plus faible)

Tout ceci demande pas mal d'habitude et de soin, car les erreurs arrivent vite. Mais il vous suffit peut-être de vous arrêter à la premiere itération. Bon courage....