Nombres décimaux

[mehdi_128]

Bonsoir,

Un nombre x est dit décimal si il existe un entier n tel que

Soit x un nombre rationnel positif. On pose avec a et b entiers naturels premiers entre eux.

1/ On suppose qu'il existe alpha et beta appartenant à N^2 tel que : Démontrer que x est décimal.
Cette question j'ai réussi en prenant alors

2/ On suppose que x est un décimal non entier. Démontrer que si p est un diviseur premier de b alors p=1 ou p=5.
x est non entier donc forcément après je bloque ....

3/ Donner une condition nécessaire et suffisante sur b pour que x soit rationnel.

Merci d'avance.
-----

[mehdi_128]

Erreur de frappe dans la question 2 : montrer que p est dans {2,5}

[gg0]

Autre erreur de frappe, c'est dans b.

Pour la question 2, suppose que b est différent de 2 et 5, et utilise la définition, modulo b.

Cordialement.

[mehdi_128]

Autre erreur de frappe, c'est dans b.

Pour la question 2, suppose que b est différent de 2 et 5, et utilise la définition, modulo b.

Cordialement.

En effet

x est décimal positif donc : il existe n appartenant à N et k entier naturel (Z+) tel que :

donc : donc : enfin

D'après le théorème de Gauss, b divise le produit a10^n or a et b sont premiers entre eux donc

Or p est un diviseur premier de b alors : (si u/v et v/w alors u/w)

Or : donc donc p=2 ou p=5

Mais j'ai pas oublié n=0 ? Si n=0 alors p divise 1 donc p=1 ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Effectivement, il y a un problème dans : "Démontrer que si p est un diviseur premier de b alors p=1 ou p=5." qui devrait être "Démontrer que si p est un diviseur premier de b alors p=2 ou p=5."
Que 1 divise b est une évidence, mais 1 n'est pas premier.
Quant à ton n, il ne peut pas être nul, x n'est pas entier. Tu as mal démarré ta preuve, puisque tu n'as pas tenu compte de ça.

Cordialement.

NB : J'avais lu 2 à la place de 1 tellement ça semblait naturel.

[mehdi_128]

Effectivement, il y a un problème dans : "Démontrer que si p est un diviseur premier de b alors p=1 ou p=5." qui devrait être "Démontrer que si p est un diviseur premier de b alors p=2 ou p=5."
Que 1 divise b est une évidence, mais 1 n'est pas premier.
Quant à ton n, il ne peut pas être nul, x n'est pas entier. Tu as mal démarré ta preuve, puisque tu n'as pas tenu compte de ça.

Cordialement.

NB : J'avais lu 2 à la place de 1 tellement ça semblait naturel.

Merci ! J'avais écrit 1 mais c'était bien 2