Fonction à 2 variables

[invitee37bb01f]

Bonjour je bloque un peu sur la compréhension de cet exercice :

On a 2 propositions :

P : gradient g(1, 2) =(0 , 0)

Q : (1,2) est un minimum local de g sur R³


On me demande P est il une condition nécessaire pour Q

Et on me demande aussi : P est il une condition suffisante pour Q


Dans mon correctif il est indiqué faux pour les 2 propositions

Je ne comprends pas puisque pour avoir un minimum local en (1,2) il faut absolument que le vecteur obtenu soit nul non ? J'aurais donc mis que c'est une condition nécessaire justement.

Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

La différentiabilité est-elle obligatoire pour avoir un minimum ?

Cordialement.

NB : C'est quoi, g ?

[invitee37bb01f]

Dans l'énoncé on suppose juste que g : R² --> R est une fonction à 2 variables dérivable sur R²

Donc g est une fonction.

Dans mon cours dans la partie des "fonctions à 2 variables", il est écrit que quand le vecteur est nul (a,b) est un point critique de g. Et un extremum est toujours un point critique.

Par contre pour les fonctions différentielles, on a vu brièvement les explications.

[invitee37bb01f]

petite modif pour Q: c'est R² et pas R³

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ok, maintenant je sais ce qu'est g.

"Dans mon cours dans la partie des "fonctions à 2 variables", il est écrit que quand le vecteur est nul (a,b) est un point critique de g" tout à fait ! "Et un extremum est toujours un point critique" Seulement pour une fonction différentiable sur son domaine qui est ouvert.
En revenant à une seule variable, la fonction x-->|x| a un minimum pour x=0, mais sa dérivée n'y est pas nulle, pour la bonne raison qu'elle n'existe pas.

Mais dans ton cas, si f est différentiable sur R², il n'y a pas de problème.

Cordialement.

[gg0]

Il serait utile de voir ton prof à propos de cette partie de cours.

Attention : ce n'est plus vrai si on sait seulement qu'il y a des dérivées partielles en tout point de R².