Dénombrabilité, atomes, théorie de la mesure

[Perfectina]

Bonjour,
Soit un espace mesurable. On définit, pour tout , l'atome de la tribu engendré par x par :

.

Montrer que si est au plus dénombrable alors contient ses atomes et que chaque élément de s'écrit comme une réunion au plus dénombrable d'atomes.

La réponse : Supposons que soit finie ou dénombrable. Alors chaque atome s'écrit comme une réunion au plus dénombrable d'éléments de et donc appartient à . De plus, si , alors :



et cette réunion est au plus dénombrable car les atomes appartiennent à . De plus, les atomes formant une partition de E, cette écriture est unique.

Je ne comprends tout simplement pas pourquoi les atomes s'écrivent comme une réunion dénombrable ? Je ne comprends pas non plus pourquoi ce résultat . Quelqu'un pourrait me l'expliquer ? Merci d'avance !
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[Tryss2]

Je ne comprends tout simplement pas pourquoi les atomes s'écrivent comme une réunion dénombrable ?

Oui, j'aurai dit "comme une intersection dénombrable", ce qui donne le résultat car une tribu est stable par passage au complémentaire.

Sinon, il s'agit de l'égalité


A noter que des tribu dénombrables, y'en a pas beaucoup