sous espace vectoriel

[invitedd4b4568]

F = {αX^4 + (α + β)X + β | (α, β) ∈ R^2}
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R4[X].
Pour cela je montre que lorque le polynome est nul β apprtient a F donc non vide. Puis j'introduis un polynome Y appartenant a R4[X] et 𝛌 appartenant a R tel que f(𝛌X+Y)=𝛌f(X)+f(Y)
Mais quand je développe F(𝛌X+Y)=a(𝛌X+Y)^4+(a+β)(𝛌X+Y)+ β
a(𝛌X+Y)^4=(𝛌X+Y)^2*(𝛌X+Y) ^2 identité remarquable du coup comment on peut retomber sur 𝛌f(X)+f(Y)?

Merci bien
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[Resartus]

Bonjour,
Je ne comprends rien à votre méli mélo. Quelle est cette règle bizarre avec lambdaX+Y que vous essayez d'appliquer*?
Pas la peine de chercher midi à quatorze heures.
Les polynômes sont de la forme alpha (X^4+X) + beta(X+1)
Combinaison linéaire des deux vecteurs indépendants X^4+X et X+1 (puisque l'un n'est pas un multiple de l'autre)* : donc SEV de dimension 2....

* Vous avez peut-être appris une règle avec deux éléments U V qui regroupe le test d'addition et de multiplication par un scalaire (maisil faut que les U et V en question soient des éléments de la famille à tester, et X n'appartient justement pas à ce sous espace vectoriel)

**NB : en tant qu'espace vectoriel, on ne peut considérer que les multiplications par des réels : X^2-1 ne serait PAS un multiple de X+1. On n'est pas dans des fonctions de X comme en analyse : chaque terme de type X^n est indépendant et représente une des dimensions de l'espace vectoriel. Vous verrez plus tard d'autres opérations sur ces polynômes (multiplications entre eux), qui en font plus qu'un simple espace vectoriel, mais on n'en est pas encore là...