Démonstration nature des points stationnaires

[invite41916546]

Bonjour à tous,

Dans mon cours on me donne les conditions suffisantes pour un extremum ou point selle pour une fonction de plusieurs variables, mais il n'y a aucune démonstration.
J'ai trouvé sur internet la démonstration pour une fonction de deux variables ; elle se base sur une approximation de Taylor pour montrer le lien entre la matrice Hessienne et la nature des points stationnaires.
Néanmoins concernant le théorème sur les fonctions de trois variables je n'ai pas trouvé de justification que je comprenne. J'ai essayé de moi-même avec un développement limité mais je n'ai rien trouvé.
Pouvez-vous m'expliquer comment démontre t'on cela ?

Merci d'avance.


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[Resartus]

Bonjour,
La démonstration pour n variables n'est pas très différente de celle pour 2 :
Au voisinage d'un extremum où le gradient est nul la fonction f s'exprime au second ordre comme une forme quadratique *:
Si on appelle dX le vecteur colonne (dx1, dx2,...dxn), dXt son transposé (vecteur ligne) et la hessienne Hij=dfi/dxj,
on a df=dXt.H.dX.
Si on passe dans une base où la Hessienne est diagonale (ce qui est toujours possible puisque c'est une matrice symétrique**) on peut l'exprimer sous la forme df=dx't.H'.dX'.

On voit que si les valeurs propres de la Hessienne ne sont pas de même signe, il y aura des directions où cela monte, et d'autres où cela descend.
Donc ce n'est un extremum que si les valeurs propres sont toutes de même signe et non nulles. (le cas où une valeur propre est nulle étant un poil plus compliqué on va oublier ...)

Après, la petite gymnastique qui est faite dans votre texte, c'est de retrouver le signe de ces valeurs propres, sans calculer explicitement le polynome caractéristique, quand on a une matrice 3x3.

*Est-ce cela qui vous gêne? Le DL au second ordre sera de la forme somme d2f/dxixj*dxi.dxj pour tous i et j
Et quand on écrit sous forme matricielle, les termes avec i=j se retrouvent sur la diagonale, et les non diagonaux se retrouvent une première fois avec Hij, une deuxième avec Hji.

** d(df/dxj)/dxi=d(df/dxi)/dxj sont égaux** (théorème de Schwarz)