Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange.

invite298522be · 15/06/2017, 19h41

Bonsoir, je suis étudiant en L3 Maths et je vais au rattrapage...

Je suis donc en train de refaire un exercice de l'examen de Calcul Différentiel de juin 2017.

$\textrm{Dans tout l'exercice, }E\textrm{ et }F\textrm{ sont des espaces vectoriels de dimension finies }(\dim E=n\textrm{, }\dim F=m)\textrm{, et}\\\Omega\textrm{ est un ouvert de }E.$

$\textrm{A. Soit }g:\Omega\subset E\rightarrow F\textrm{ une application }C^1\textrm{, }a\in\Omega\textrm{ et }b\in F\textrm{. On pose }M=g^{-1}(\{b\})\textrm{. On suppose que }a\in M\textrm{ et que}\\\textrm{d}g(a)\textrm{ est surjective. On note }E_1=\ker \textrm{d}g(a)\textrm{ et soit }E_2\textrm{ un supplementaire de }E_1\textrm{ : }E=E_1\oplus E_2.$

$1.\textrm{ Montrer que d}g(a)_{|E_2}\in\textrm{Isom}(E_2,F).$

$\textrm{On a }\ker\textrm{ }\textrm{d}g(a)_{|E_2}=E_2\cap\ker\textrm{ }\textrm{d}g(a)=\{0\}\textrm{ donc d}g(a)_{|E_2}:E_2\rightarrow F\textrm{ est injective. De plus }\textrm{d}g(a)_{|E_2}=\textrm{d}\textit{g(a)(E_2)}$
$=\textrm{d}g(a)(E_2+\ker\text{ d}g(a))=\textrm{d}g(a)(E)=F\te{donc }\textrm{d}\textit{g(a)_{|E_2}}\textrm{ est surjective. Ainsi d}\textit{g(a)_{|E_2}\in\textr{Isom}\textit{(E_2,F)}.$

$2.\textrm{ Montrer qu'il existe }\Omega_1\textrm{ et }\Omega_2\textrm{ des voisinages ouverts de }0\textrm{ dans }E_1\textrm{ et }E_2\textrm{ respectivement, tels que}$
$a+\Omega_1+\Omega_2\subset\Om.$

Et là, je suis complètement paumé...

Pourriez-vous m'aider svp ?

invite298522be · 15/06/2017, 19h50

Bon je vois que c pas top le latex ici, je taperais que les formules du coup.

invite298522be · 16/06/2017, 16h19

Personne pour venir m'aider...

**AncMath** · 17/06/2017, 20h11

C'est la continuité de l'addition.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange.

Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange.

Re : Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange.

Re : Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange.

Re : Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange.

Discussions similaires

Multiplicateurs de Lagrange

Application des multiplicateurs de Lagrange

multiplicateurs de Lagrange

Optimisation et multiplicateurs de Lagrange

Multiplicateurs de Lagrange