changement de bases duales

[maatty]

Bonsoir à tous,
je suis confronté à un point dans une démonstration que je ne comprends pas bien.
On considère une base (F1,...Fn) d'un ev K et une base (A1,...,An) du dual K*.
Il est alors écrit:
"la matrice de passage de la base duale des Fi à la base des Ai est: (Fi**(Aj)) "
Pourriez vous m'éclairer un peu sur ce point;
je vous remercie
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[AncMath]

N'est ce pas la définition ?

[Amanuensis]

Je ne comprends pas la notation (Fi**(Aj))

[maatty]

les i et j sont indiciels et Fi** désigne la base duale de la base duale Fi* suppose

[A voir en vidéo sur Futura]

[maatty]

bonsoir;
excusez-moi de nouveau mais cela ne m'éclaire pas, quelle définition?

[invite23cdddab]

Est-ce que Fi** n'est pas simplement l'image de Fi par l'injection canonique entre K et K** ?

Donc Fi**(Aj) = Aj(Fi)

[AncMath]

bonsoir;
excusez-moi de nouveau mais cela ne m'éclaire pas, quelle définition?

La définition de la matrice d'une famille de vecteurs dans une base. Si est un espace vectoriel fini et si on s'en donne une base et si est une famille de vecteurs de . Alors la définition de la matrice de dans la base c'est la matrice définie par .
La matrice d'une application linéaire de muni d'une base dans muni d'une base , c'est la matrice de la famille dans la base .
La matrice de passage d'une base à une base est la matrice de l'identité de équipé de dans équipé de . Et oui il y a bien une inversion de sens, toujours due à notre sale manie d’écrire au lieu de .

Ainsi la matrice de passage de à a pour coéfficient . C'est la matrice de l'identité de dans les base et . Bien sûr comme signalé par Tryss2