Dualité:changement de bases
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Dualité:changement de bases



  1. #1
    invitef55e92ca

    Dualité:changement de bases


    ------

    Bonjour,

    D'après mon cours :
    Soient B base canonique et B' une autre base d'un ev E, et soient B* et B'* leurs bases duales.
    Si on appelle P la matrice de passage de B à B' et Q la matrice de passage de B* à B'*
    alors on a la formule de changement de base :

    Q=tP-1

    Dans un exo, on a Phi une forme linéaire, et on nous demande de trouver ses coordonnées PhiB'* dans la base B'*. Dans la correction, on écrit la matrice de passage Q de B* à B'*, et on calcule :
    PhiB'* = tQ-1.PhiB*

    (où PhiB* correspond au vecteur colonne des coordonnées de Phi dans B*)

    seulement, je ne comprends pas pourquoi on prend l'inverse de la transposée de Q (i.e P si je ne me trompe pas), et pas Q ??? Quelqu'un peut-il m'éclairer svp ?

    Merci de votre aide

    -----

  2. #2
    invite6de5f0ac

    Re : Dualité:changement de bases

    Citation Envoyé par Suzanna
    seulement, je ne comprends pas pourquoi on prend l'inverse de la transposée de Q (i.e P si je ne me trompe pas), et pas Q ??? Quelqu'un peut-il m'éclairer svp ?
    Bonjour,

    "parce que" l'inverse de la transposée (ou la transposée de l'inverse, c'est pareil) s'appelle la contragrédiente. Enfin, c'est pas vraiment ça la raison...
    Si on a une application linéaire f de E vers F, on a une application linéaire tf de F* vers E*. Et si f est un isomorphisme, il en est de même de son inverse f-1 qui va de F vers E, d'où tf-1 est un isomorphisme de E* sur F*.

    En fait la contragrédiente est caractérisée par la relation
    <a,x> = <tf-1(a),f(x)>
    pour toute forme linéaire a € E* et tout vecteur x € E. Le fait que f soit un changement de base, c'est un cas partculier d'isomorphisme entre un espace et lui-même.

    -- françois

    P.S. J'aurais dû mettre g au lieu de f, l'exposant -1 pour l'inverse ne se voit pas bien...

  3. #3
    invitef55e92ca

    Re : Dualité:changement de bases

    Merci de ces précisions,
    "parce que" l'inverse de la transposée (ou la transposée de l'inverse, c'est pareil) s'appelle la contragrédiente. Enfin, c'est pas vraiment ça la raison...
    Si on a une application linéaire f de E vers F, on a une application linéaire tf de F* vers E*. Et si f est un isomorphisme, il en est de même de son inverse f-1 qui va de F vers E, d'où tf-1 est un isomorphisme de E* sur F*.
    OK, mais par contre je ne comprends pas la relation <a,x> = <tf-1(a),f(x)>

    est-ce que ça signifie que les coordonnées de la forme a sont égales au produit scalaire (???) de tf-1(a) (i.e Q.a en travaillant avec les matrices) et de f(x) (i.e P), ou bien c'est pas du tout ça ???

    Merci

  4. #4
    Gwyddon

    Re : Dualité:changement de bases

    Enfin il y a quand même un truc bizarre : quel que soit l'espace vectoriel, si je prend A matrice de passage de la base B à la base B', X et X' les coordonnées d'un même vecteur exprimé respectivement dans B et dans B', j'ai la formule
    X=P X'

    Ici, on a B=B* ; B' = B*' ; X= Phi ; X'=Phi' et A=Q

    donc on devrait avoir Phi = Q Phi' ...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite800f66fa

    Re : Dualité:changement de bases

    bonjour,

    j'en profite pour poser une petite question.
    Si on prend Q=mat(B*,B'*) et P=mat(B,B') on a alors:

    Q=t(P-1)

    (dsl pour les symboles de transposée et d'inverse c'est pas simple sur le clavier)

    Mais est ce qu'on peut alors écrire: P=t(Q-1) ???

    Merci d'avance pour votre aide

  7. #6
    God's Breath

    Re : Dualité:changement de bases

    Oui, on peut l'écrire !!!
    Pourquoi ne pourrait-on pas ?

    Et ce qu'il y a de bien, c'est qu'en l'écrivant, on n'écrit pas une bêtise.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #7
    invite800f66fa

    Re : Dualité:changement de bases

    oké, merci je voulais en être sure

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