Dualité:changement de bases

[invitef55e92ca]

Bonjour,

D'après mon cours :
Soient B base canonique et B' une autre base d'un ev E, et soient B* et B'* leurs bases duales.
Si on appelle P la matrice de passage de B à B' et Q la matrice de passage de B* à B'*
alors on a la formule de changement de base :

Q=^tP^-1

Dans un exo, on a Phi une forme linéaire, et on nous demande de trouver ses coordonnées Phi_B'* dans la base B'*. Dans la correction, on écrit la matrice de passage Q de B* à B'*, et on calcule :
Phi_B'* = ^tQ^-1.Phi_B*

(où Phi_B* correspond au vecteur colonne des coordonnées de Phi dans B*)

seulement, je ne comprends pas pourquoi on prend l'inverse de la transposée de Q (i.e P si je ne me trompe pas), et pas Q ??? Quelqu'un peut-il m'éclairer svp ?

Merci de votre aide
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[invite6de5f0ac]

seulement, je ne comprends pas pourquoi on prend l'inverse de la transposée de Q (i.e P si je ne me trompe pas), et pas Q ??? Quelqu'un peut-il m'éclairer svp ?

Bonjour,

"parce que" l'inverse de la transposée (ou la transposée de l'inverse, c'est pareil) s'appelle la contragrédiente. Enfin, c'est pas vraiment ça la raison...
Si on a une application linéaire f de E vers F, on a une application linéaire ^tf de F* vers E*. Et si f est un isomorphisme, il en est de même de son inverse f^-1 qui va de F vers E, d'où ^tf^-1 est un isomorphisme de E* sur F*.

En fait la contragrédiente est caractérisée par la relation
<a,x> = <^tf^-1(a),f(x)>
pour toute forme linéaire a € E* et tout vecteur x € E. Le fait que f soit un changement de base, c'est un cas partculier d'isomorphisme entre un espace et lui-même.

-- françois

P.S. J'aurais dû mettre g au lieu de f, l'exposant -1 pour l'inverse ne se voit pas bien...

[invitef55e92ca]

Merci de ces précisions,

"parce que" l'inverse de la transposée (ou la transposée de l'inverse, c'est pareil) s'appelle la contragrédiente. Enfin, c'est pas vraiment ça la raison...
Si on a une application linéaire f de E vers F, on a une application linéaire tf de F* vers E*. Et si f est un isomorphisme, il en est de même de son inverse f-1 qui va de F vers E, d'où tf-1 est un isomorphisme de E* sur F*.

OK, mais par contre je ne comprends pas la relation <a,x> = <^tf^-1(a),f(x)>

est-ce que ça signifie que les coordonnées de la forme a sont égales au produit scalaire (???) de ^tf^-1(a) (i.e Q.a en travaillant avec les matrices) et de f(x) (i.e P), ou bien c'est pas du tout ça ???

Merci

[invite9c9b9968]

Enfin il y a quand même un truc bizarre : quel que soit l'espace vectoriel, si je prend A matrice de passage de la base B à la base B', X et X' les coordonnées d'un même vecteur exprimé respectivement dans B et dans B', j'ai la formule
X=P X'

Ici, on a B=B* ; B' = B*' ; X= Phi ; X'=Phi' et A=Q

donc on devrait avoir Phi = Q Phi' ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite800f66fa]

bonjour,

j'en profite pour poser une petite question.
Si on prend Q=mat(B*,B'*) et P=mat(B,B') on a alors:

Q=t(P-1)

(dsl pour les symboles de transposée et d'inverse c'est pas simple sur le clavier)

Mais est ce qu'on peut alors écrire: P=t(Q-1) ???

Merci d'avance pour votre aide

[invite57a1e779]

Oui, on peut l'écrire !!!
Pourquoi ne pourrait-on pas ?

Et ce qu'il y a de bien, c'est qu'en l'écrivant, on n'écrit pas une bêtise.

[invite800f66fa]

oké, merci je voulais en être sure