Dualité

[Quinto]

Salut,
je me demandais s'il existait une sorte d'équivalent de la dualité dans les groupes topologiques.
Notamment, dans les espaces vectoriels c'est très important, et c'est une très belle notion.
Est ce que l'on a des résultats comparables dans les groupes? Est ce que ca sert à quelque chose?

Amicalement,
Quinto
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[Quinto]

Personne ne dit rien?
Y'a même pas quelques trucs intéressants sur le groupe des automorphismes du groupe de départ?

[doryphore]

Si,si, il y a quelques résultats:
Le groupe des automorphisme d'un groupe est intéressant à étudier pour les produits semi-directs.
On peut montrer que le groupe des automorphisme de Z/nZ est isomorphe aux inversibles de Z/nZ.
D'où des résultats sur la classification des groupes d'ordre pq , p et q premiers...
Mais, j'ai rien trouvé de géométriue...
Faut peut être voir avec Stephen...

[invitea77054e9]

Je ne sais pas très bien ce qu'est la dualité, je me rappelle avoir vu ça brièvement en TD.
Le dual d'un ev E, n'est-ce pas l'ensemble des applications linéaires qui vont de E dans lR? Il me semble qu'on avait montrer un isomorphisme entre E et son bidual (avec quelques conditions à vérifier pour que ce soit vrai). Bref tout ça, c'est bien lointain.

En tout cas, j'ai fait une petite recherche sur le net, et voilà un premier lien qui pourra, je l'espère, te guider:

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Pontriaguine.html

On y trouve une petite définition de ce qu'est un dual dans un groupe topologique.
Mais bon, comme je sais même pas ce qu'est un groupe topologique, je préfère pas m'y aventurer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

Le dual d'un ev E, n'est-ce pas l'ensemble des applications linéaires qui vont de E dans lR? Il me semble qu'on avait montrer un isomorphisme entre E et son bidual (avec quelques conditions à vérifier pour que ce soit vrai).

Oui, c'est ça. Le dual d'un espace vectoriel E, c'est l'ensemble des formes linéaires sur cet espace (applis linéaires de E vers le corps des scalaires K).
E est isomorphe à son bidual si et seulement si E est de dimension finie.

[invitea77054e9]

La question inéluctable...A quoi sert la dualité? On peut s'en servir comment du fait qu'un ev de dimension finie soit isomorphe à son bidual?

Désolé de poser une question aussi naïve, mais je ne peux m'en empêcher!

[martini_bird]

Salut,

E est isomorphe à son bidual si et seulement si E est de dimension finie.

Non, ce n'est pas nécessaire: les espaces L^p sont par exemple réflexifs pour 1<p<oo. (un espace est dit réflexif s'il est isomorphe à son bidual)

Une CNS pour qu'un espace soit réflexif est que la boule unité fermée soit compacte pour la topologie faible.

Cordialement.

[matthias]

Salut,

Non, ce n'est pas nécessaire: les espaces L^p sont par exemple réflexifs pour 1<p<oo. (un espace est dit réflexif s'il est isomorphe à son bidual)

Une CNS pour qu'un espace soit réflexif est que la boule unité fermée soit compacte pour la topologie faible.

Cordialement.

Houla, il va falloir que je réflechisse à ça.
Mais tu peux me dire ce qui cloche ici :
http://www.les-mathematiques.net/b/e/u/node7.php3
?

[martini_bird]

Houla, il va falloir que je réflechisse à ça.
Mais tu peux me dire ce qui cloche ici :
http://www.les-mathematiques.net/b/e/u/node7.php3
?

Dans la réciproque:

Pour tout x vecteur de E, il existe une famille de scalaire de k à support fini, ...

Rien ne permet d'affirmer ceci: il suffit de prendre un Hilbert (L² par exemple) pour s'en convaincre.

[Quinto]

Salut,
je n'aime pas du tout ce site, il est élitiste et les gens y sont prétentieux.
A part celà j'ai souvent trouvé des erreurs dans leurs démonstrations qu'ils disent triviales.
Bref, je n'aime pas.

Pour rejoindre Martini, pour 1<p<oo,
Lq est le dual topologique de Lp si p et q sont conjugués (ie 1/p+1/q=1, )
Notamment, le dual topologique de Lq est Lp lui même et donc on a cette notion de reflexivité dont parle Martini.
A moins que je sois complétement a coté de la plaque.
Notamment pourquoi l'inégalité large 1<p<oo?
Le dual de L1 étant Loo, non?

[martini_bird]

Salut Quinto,

no comment au sujet du site.

Sinon le dual de L¹ est bien L⁰⁰ mais le dual de L⁰⁰ contient strictement L¹, qui n'est donc pas réflexif.

Cordialement.

[matthias]

Merci, martini et Quinto, je vais réfléchir à ça.

[martini_bird]

Merci, martini et Quinto, je vais réfléchir à ça.

Héhé, tu peux regarder dans les notes de B. Mauret, Analyse fonctionnelle et théorie spectrale, pages 49 et suivantes (ajoutées aujourd'hui, merci doryphore!).

Cordialement.

[invite51f4efbf]

Dans la réciproque:

Rien ne permet d'affirmer ceci: il suffit de prendre un Hilbert (L² par exemple) pour s'en convaincre.

Moi ça me paraît vrai : on a une base (e_i) dénombrable de E. Tout vecteur dans E s'écrit comme combinaison linéaire finie des e_i. Le fait que la famille soit fini garantit l'assertion "à support fini".

Je ne suis pas analyste, je me méfie avec ces choses. Entre autres, je crois qu'un espace vectoriel n'est pas reflexif en dimension finie (si l'on exige la bicontinuité de l'injection canonique). Mais je ne suis pas sûr, je me souviens avoir été intrigué par des résultats lus à la va-vite dans un livre, sans avoir le temps de creuser les détails (c'était à la pause clope ).

Sinon, j'irais regarder du côté des mesures de Haar pour la dualité, finalement, une mesure c'est juste une forme linéaire sur les fonctions continues à support compact. Y'a ptêt matière à creuser.

[martini_bird]

En dimension finie, le bidual a même dimension que l'espace de départ, donc l'injection E --> E^** est surjective.

Sinon, la décomposition en série de Fourier te montre qu'une fonction L² ne s'écrit pas nécessairement comme combinaison finie des vecteurs de la base hilbertienne (sinus et cosinus, par exemple).

Cordialement.

[invite51f4efbf]

En dimension finie, le bidual a même dimension que l'espace de départ, donc l'injection E --> E^** est surjective.

Oui je sais bien, c'est la continuité qui m'interpelle. Mais là je dois faire erreur.

Sinon, la décomposition en série de Fourier te montre qu'une fonction L² ne s'écrit pas nécessairement comme combinaison finie des vecteurs de la base hilbertienne (sinus et cosinus, par exemple).

Ca a du sens

[martini_bird]

Oui je sais bien, c'est la continuité qui m'interpelle. Mais là je dois faire erreur.

Tu doutes de la continuité d'une application linéaire entre deux espaces de dimension finie?

[invite51f4efbf]

Tu doutes de la continuité d'une application linéaire entre deux espaces de dimension finie?

C'est une bonne remarque

-> je vais surtout essayer de creuser, et de retrouver ce résultat qui m'avait gêné.

[invite8f53295a]

En fait on a une excellente notion de dualité dans ce qu'on appelle les groupes abéliens localement compacts. Si G est un tel groupe, son dual est le groupe des morphismes continus de G dans R/Z (le cercle), on le munit de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact. C'est en fait le cadre naturel de la théorie de Fourier. Le dual est aussi appelé groupe des caractères. Les résultats principaux de cette théorie sont les suivants. On fixe dx une mesure de Haar sur le groupe g. Pour f une fonction dans L^1(G), on pose

où est un caractère de G. Ainsi la transformée de Fourier est une fonction sur le groupe dual, on peut montrer qu'elle tend vers 0 à l'infini (au sens de la compactification d'Alexandrov). Ce qu'on appelle formule de Fourier est le résultat suivant : il existe une unique normalisation de la mesure de Haar sur le dual de G tel que si f est une fonction L^1 de G dans C telle qu'en plus soit L^1 alors f se reconstitue par
(ou f(-x) je ne sais plus).
De plus ceci se prolonge en une isométrie de sur .
Enfin on a une bidualité :


Pourquoi ceci redonne-t-il les théories de Fourier habituelles ? Si G=S^1 (le cercle), les éléments du dual sont les
avec n dans . Le dual du cercle est donc le groupe des entiers relatifs, ce qui explique qu'une fonction périodique donne une série de Fourier (discrète). Plus généralement le dual d'un groupe compact est un groupe (topologique) discret, et par bidualié le dual d'un groupe discret est compact.

Certains groupes sont autoduaux, c'est à dire qu'il existe un isomorphisme topologique (non unique ni canonique, il faut faire un choix, c'est un peu crade...)
Par exemple le groupe additif des nombres réels IR, qui est isomorphe à son dual, ses caractères étant les
avec a dans IR. Voilà pourquoi la transformation de Fourier sur IR, transforme fonction sur IR en une autre fonction sur IR.

De même d'autres groupes localement compacts sont très intéressants pour faire de la théorie de Fourier les groupes additis des corps p-adiques Q_p (comme IR autoduaux), ou le groupe additif des adèles d'un corps de nombres (autoduaux). Et tout ceci sert par exemple, dans la thèse de Tate où il montre de façon très générale que l'équation fonctionnelle et le prolongements des "fonctions L abéliennes", en particulier la fonction zeta usuelle, les fonctions zeta des corps de nombres etc.

Une référence où est développé cette théorie de la dualité des groupes localement compacts est l'article de Cartan (Henri) et Godement :
"Théorie de la dualité et analyse harmonique dans les groupes abéliens localement compacts" dans les annales scientifiques de l'ENS tome 64 série 3 (année 1947) disponible sur http://www.numdam.org

[Quinto]

salut,
merci de cette réponse très intéressante.
Ca semble en effet très puissant, mais ca semble également non trivial.
Il faudrait que je me mette un peu plus à étudier les groupes topologiques pour mieux apprécier tout ca.
Amicalement,
Quinto

[invite51f4efbf]

Enfin on a une bidualité :

J'avais oublié ce résultat. Il est très connu, c'est le théorème de dualité de Pontriagin. C'est un sujet effectivement très intéressant à ce que j'en ai vu (hélas très peu).

[invite8f53295a]

Il faudrait que je me mette un peu plus à étudier les groupes topologiques pour mieux apprécier tout ca.

Un livre bien écrit (à ce qu'il me semble) où est développé tout ceci de façon très complète (en reprenant les groupes topologiques etc.) est le livre "Fourier analysis in number Fields" de Valenza et Ramakrishnan. Comme son nom l'indique les applications y sont orientées vers les résultats de théorie analytique des nombres que j'ai cités.

[Quinto]

Merci BS pour ces indications, j'irai le consulter à la BU, il doit forcément y être. Comme tu le sais, je ne suis pas un pro de l'algèbre.
A+

[Quinto]

pour 1<p<oo,
Lq est le dual topologique de Lp si p et q sont conjugués (ie 1/p+1/q=1, )
Notamment, le dual topologique de Lq est Lp lui même et donc on a

Bonjour,
je n'ai jamais montré ceci quand j'y pense.
J'imagine que ca découle directement de l'inégalité de Holder je crois:

|fg|1<=|f|p*|g|q

Ainsi, on a l'isomorphisme à travers la fonctionnelle:
Tf de Lq vers R (ou C) définie par:
g->intégrale de |fg|
qui a donc du sens grace à l'inégalité ci dessus.
Est ce le cas?

[martini_bird]

Salut,

c'est à peu près ça: c'est le théorème de représentation de Riesz.
Si , il existe un unique tel que pour tout . (le crochet est le crochet de dualité)

Il doit y avoir la démo quelque part dans la bibliothèque.

Cordialement.

[Quinto]

Salut,
ah oui en fait je le connaissais le théorème de représentation de Riesz ...
Mais il me semblait que l'on supposait un truc sur la norme de l'opérateur en plus.
Merci.
Amicalement,
Quinto

[invite8f53295a]

c'est à peu près ça: c'est le théorème de représentation de Riesz.
Si , il existe un unique tel que pour tout . (le crochet est le crochet de dualité)

En fait, ça ça revient essentiellement à dire que L^q et le dual de L^p. Ce qu'on appelle en général théorème de Riesz, vaut pour les espaces de Hilbert en général et s'applique donc seulement à L^2. Il existe une preuve du résultat général (L^q dual de L^p) qui utilise effectivement le résultat pour L^2. Cependant il y en a une autre, qui me semble plus naturelle, basée sur le théorème de Radon-Nykodim.