Bonjour ,
on vient de faire le cours des espaces euclidiens , et j'ai toujours une ambiguité au niveau des endomorphismes orthogonaux dans quelques implications .
1-si f appartient a L(E) tq f conserve la norme implique f orthogonal ??
2- si f appartient a L(E) tq f orthogonal implique Im(f) et ker(f) sont orthogonaux ??
Merciii .
Bonjour,
OK pour le premier.
Pour 2, il y a mieux : le Ker est nul, et im(f)=l'espace tout entier....
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Ah oui bien sur parce que c'est un automorphisme.
Mais comment peut on démontrer la première ?
Bonjour,
C'est un peu plus subtil en effet. Le produit scalaire vérifie :
x.y=1/4(||x+y||²-|x-y||²)*. Si l'endomorphisme conserve la norme, il conserve aussi le produit scalaire, ce qui est une des définitions de orthogonal
*Il faut que le corps ne soit pas de caractéristique 2. Mais si c'est le cas, on perd tellement de propriétés que cela devient un sujet à part entière
Dernière modification par Resartus ; 18/06/2017 à 15h24.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Je pense l'avoir trouvé , si f conserve la norme pour tout elements x,y de E alors en particulier pour x-y , en élevant au carré et en utilisant encore une fois le fait que la norme de f(x) est egale a celle de x et la norme de f(y) est egale a celle de y on obtient le résultat .
