Orthogonal de l'orthogonal

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Bonsoir !

J'ai besoin de votre aide pour le problème suivant (j'ai lu ça sur wikipédia, et j'ai beaucoup de mal à le montrer !). E un espace préhilbertien réel. F un sous-espace vectoriel de E (qui peut être de dimension infinie bien sûr) montrer que :


Je sais montrer que est fermé et donc mais la réciproque ne m'inspire pas beaucoup... Je vous avoue avoir regarder des trucs sur wikipédia mais je comprends pas tout, je suis pas un pro de la topologie, je suis qu'en spé...

Merci d'avance.
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Bonjour,

l'énoncé est faux.

Contre-exemple: soit E l'espace vectoriel des suites réelles nulles à partir d'un certain rang, muni du produit scalaire :



C'est un espace préhilbertien réel. Soit F le sous-espace vectoriel de E formé des suites telles que



En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, il est facile de montrer que F est fermé dans E. Il est clair que F est différent de E. Mais puisque le rang à partir duquel une suite dans F est nulle n'est pas borné, l'orthogonal de F est réduit à 0 et donc son double orthogonal est tout E.

L'énoncé devient correct si on suppose que E est un espace de Hilbert, i.e. un espace préhilbertien complet.