déterminant et valeurs propres d'une matrice

[invite9def21c7]

bonsoir,

dans notre sujet d'examen ont a eu un exercice qui nous demandait de trouver les valeurs d'une matrice A telle que




quand j'essaye de calculer le det(A-xI) pour calculer les valeurs propres (x) de A je trouve toujours une équation de degré 3 que je ne peux pas factoriser
alors je voulais savoir si il n'y avait pas quelque chose qui m'échappe ou un truc que j'ai mal compris ou peut être qu'il y a une petite astuce derrière ........ ( ou peut être que que je suis un peu bête )
merci d'avance pour vos réponses
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[invite6710ed20]

Bonjour
Sans faire les calculs les vp sont évidentes (2,2,-1). (car (la matrice - 2I_d) est de rang1)
Avec les calculs tu devrais tu devrait retrouver ces racines évidentes

[Resartus]

Bonjour,

Une astuce pour trouver une valeur propre d'une matrice est d'identifier un vecteur qui est visiblement un vecteur propre. Compte tenu des symétries, il semble naturel ici d'essayer (1, 1, 1).

Comme c'est de degré 3, une fois trouvée une valeur propre, il ne reste plus qu'à factoriser le reste du polynome, qui sera du second degré


A noter aussi plus généralement qu'on peut chercher des racines "faciles" d'un polynome en testant les diviseurs entiers du produit des racines : quand le polynome est unitaire (le coefficient de X^n vaut 1) c'est le terme constant du polynome (pour le polynome caracteristique, c'est le déterminant)

[sylvainc2]

On peut aussi faire comme ceci: on peut toujours écrire A = M + kI. Si les valeurs et vecteurs propres de M sont faciles à calculer, alors les valeurs propres de A sont celles de M additionnées de k, et les vecteurs propres sont les mêmes (c'est vrai seulement si on additionne un multiple de l'identité, pas si on additionne une matrice quelconque).

Ici, on peut prendre k=2 et pour M la matrice 3 x 3 pleine de -1, ses vp sont très faciles à trouver sans calcul car rang(M)=1, ce sont 0 de multiplicité 2, avec les vecteurs propres (1,-1,0), (1,0,-1) aussi faciles à trouver, et l'autre valeur propre se calcule par trace(M) = -3, donc c'est -3 (la somme des valeurs propres = la trace), avec le vecteur propre (1,1,1).

Donc les valeurs propres de A sont 0+2=2 (double) avec les mêmes vecteurs propres que 0 de M, -3+2=-1 avec (1,1,1).

[A voir en vidéo sur Futura]