montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

[duduch74]

Bonjour

J'ai bien compris la solution de ce problème qu'on donne sur la plupart des ressources :
Par l'absurde, on suppose qu'on peut écrire 2014 = n^2 + m^2, avec n et m dans N.
Or 2014 est congru à 6 modulo 8, alors que n^2+m^2 est congru à 0, 1, 2, 4 ou 5 uniquement modulo 8.
On conclut que 2014 ne peut pas s'écrire comme la somme de deux carrés.

J'ai bien compris le raisonnement. Ma question est : comment a-t-on l'idée de raisonner modulo 8 ? J'ai testé avec un raisonnement modulo 5, il n'y a pas de contradiction. Donc avec cette méthode (je sait aussi qu'on peut utiliser le théorème des deux carrés de Fermat) est-ce qu'on teste différents modulo jusqu'à ce que l'un d'entre eux donne une contradiction ? Ou bien il existe un moyen de trouver le bon modulo ?

Cordialement
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[invite9dc7b526]

Le choix de 8 n'est pas un hasard, regarde ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue

[skeptikos]

Bonsoir,
A mon goût, passer par le théorème de Fermat serait plus rapide.
@+

[duduch74]

je n'ai pas tout compris, si ce n'est que le rédacteur de la correction n'est pas très pédagogue... mais merci. Un jour ça sera limpide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Il ne faut pas penser qu'il y a toujours une route toute tracée vers la solution d'un exercice. Parfois (souvent ?), appliquer des recettes toutes faites ne permet pas de résoudre un problème. La solution peut passer par l'intuition, l'expérience, et souvent beaucoup d'essais et d'échecs.

[invitedd63ac7a]

Ce type de recherche n'est jamais simple au niveau élémentaire, il est normal de ne pas trouver d'emblée. Quelques réflexions qui pourront peut-être vous aider.
Le problème est ici lié au nombre 2.
2014 est multiple de 2 et pas de 4 : autrement dit 2 apparait à la puissance 1 dans la décomposition en facteurs premiers de 2014.
D'autre part, regardez
1) si n et m sont paires cela ne peut aller car leur somme est multiple de 4 et pas 2014.
2) si n et m sont de parités différents la somme des carrés est impaire, donc cela ne peut aller
3) il reste le cas n et m impaires qui pourraient à priori aller, mais, en fait, non:
écrivez n=2k+1 et m=2l+1
n²+m²=4(k²+k)+4(l²+l)+2
or k²+k=k(k+1) produit de deux entiers consécutifs donc résultat pair, même chose pour l²+l par conséquent on peut écrire :
n²+m²=8(k'+l')+2
Eh bien le voici le modulo 8...

[Amanuensis]

Ou bien il existe un moyen de trouver le bon modulo ?

Le nombre de valeurs de carrés modulo n est au plus n/2+1. Mais pour certains n c'est moins que cela. Par exemple il n'y a que 3 valeurs modulo 8, ou encore 4 valeurs modulo 12. Si k est le nombre de modulos de carrés modulo n, le nombre de modulos de sommes de deux carrés est au plus k(k+1)/2. Pour n=8, k =3 et k(k+1)/2 = 6 < 8, donc il y a au moins deux valeurs modulo 8 impossibles pour la somme de deux carrés (il y en a 3 qui sont 3, 6, 7). De même, pour n=12, k=4 et k(k+1)/2=10<12, et il y a au moins deux valeurs interdites (il y en a 3, qui sont 3, 7 et 11).

Il y a donc des valeurs de n ayant la propriété d'avoir des modulos de somme de carrés impossibles, les premiers n étant 4, 8, 12 et 16. Apparemment ce sont les multiples de 4, mais je ne sais pas s'il y a une règle générale.

Les impossibles sont au moins: 3 mod 4, 6 mod 8, (rien de plus pour mod 12), 12 mod 16, etc. (On peut deviner une règle 3 2^k mod 2^{k+2}, ???)

[invite51d17075]

bjr,

je n'ai pas tout compris, si ce n'est que le rédacteur de la correction n'est pas très pédagogue... mais merci. Un jour ça sera limpide.

tu ne la communiques pas.
par contre

2014 est multiple de 2 et pas de 4 : autrement dit 2 apparait à la puissance 1 dans la décomposition en facteurs premiers de 2014.
D'autre part, regardez
1) si n et m sont paires cela ne peut aller car leur somme est multiple de 4 et pas 2014.
2) si n et m sont de parités différents la somme des carrés est impaire, donc cela ne peut aller
3) il reste le cas n et m impaires qui pourraient à priori aller, mais, en fait, non:
écrivez n=2k+1 et m=2l+1
n²+m²=4(k²+k)+4(l²+l)+2
or k²+k=k(k+1) produit de deux entiers consécutifs donc résultat pair, même chose pour l²+l par conséquent on peut écrire :
n²+m²=8(k'+l')+2
Eh bien le voici le modulo 8...

je trouve celle là très bien, ce qui n'enlève rien aux propositions plus générales qui ont été formulées par divers intervenants.
Cdt

[Médiat]

Apparemment ce sont les multiples de 4

Non, pas uniquement ; cela me semble lié aux diviseurs de zéro, mais pas seulement (peut-être faut-il que le modulo contienne 1 carré), et c'est évidemment lié à la présence de 2 dans les facteurs de n.

les premiers n étant 4, 8, 12 et 16

Ainsi que 9 (il manque 3 et 6 (des diviseurs de 0)

[AncMath]

Conceptuellement il y a au moins une façon de comprendre cela. Cela vient du fait que principe de Hasse fonctionne pour de telles équations. C'est le théorème de Hasse-Minkowsi.

Supposes que tu homogénises ton équation et que tu t’intéresses à trouver un zéro entier de la forme quadratique. Ceci te fournit toutes les solutions rationnelles à ton équation. C'est moins fort que les solutions entières mais c'est déjà un premier pas. Notamment si tu veux prouver qu'il n'y a pas de solution.
Le principe de Hasse fonctionne pour de telles équations. C'est le théorème de Hasse-Minkowsi. Il te dit que cette équation a des solutions rationnelles si et seulement si elle a des solutions p-adiques pour tout p, y compris p infini.
Grace au lemme d'Hensel l'existence de solutions locales revient peu ou prou à résoudre ton équation modulo p pour tout premier p impair.
Pour p=2 c'est un poil plus compliqué parce que si tu vois ton équation comme une conique , alors modulo 2 cette conique dégénère : c'est une droite double. Il faut alors faire plus attention en utilisant le lemme de Hensel et pousser modulo 8 le critère local. C'est déjà ce qu'il se passe dans la loi de réciprocité quadratique modulo 2 si tu notes.

Autrement dit si tout cela t'es étranger, ce qui est probable, on a un principe théorique pour les formes quadratiques à coefficients entiers : elles possèdent une solution rationnelle ssi elles possèdent une solution réelle, une solution modulo p pour tout p premier impair et une solution modulo 8.

Tu peux aussi regarder ce qu'est le symbole de Hilbert, qui "encapsule" tout cela.

[Médiat]

Bonjour,

C'est le théorème de Hasse-Minkowsi. Il te dit que cette équation a des solutions rationnelles si et seulement si elle a des solutions p-adiques pour tout p, y compris p infini.

[...]

on a un principe théorique pour les formes quadratiques à coefficients entiers : elles possèdent une solution rationnelle ssi elles possèdent une solution réelle, une solution modulo p pour tout p premier impair et une solution modulo 8.

Auriez-vous un exemple d'une forme quadratique à coefficients entiers ayant une racine dans IR et dans tous les Qp pour p premier, et qui n'ait pas de racine dans Q ? (Je connais l'exemple célèbre de degré 3, mais pas pour des formes quadratiques)

[AncMath]

Et bien, ma foi, non ! Puisque le théorème de Hassse-Minkowski dit que ca ne peut arriver.

Le modulo 8 dans mon "résumé" vient du fait que la recherche de racines non triviales à une forme quadratique dans n'est pas équivalente à la recherche de racines dans mais dans . Pour les autres premiers impairs la recherche de solutions non triviales dans est équivalent à la recherche dans .

[Médiat]

Et bien, ma foi, non ! Puisque le théorème de Hassse-Minkowski dit que ca ne peut arriver.

C'est bien là où je voulais en venir

Le modulo 8 dans mon "résumé" vient du fait que la recherche de racines non triviales à une forme quadratique dans n'est pas équivalente à la recherche de racines dans mais dans . Pour les autres premiers impairs la recherche de solutions non triviales dans est équivalent à la recherche dans .

Et c'est cela que je n'avais pas vu

[AncMath]

Comme on dit "Every prime number is odd, and 2 is the oddest one".

[duduch74]

Ce type de recherche n'est jamais simple au niveau élémentaire, il est normal de ne pas trouver d'emblée. Quelques réflexions qui pourront peut-être vous aider.
Le problème est ici lié au nombre 2.
2014 est multiple de 2 et pas de 4 : autrement dit 2 apparait à la puissance 1 dans la décomposition en facteurs premiers de 2014.
D'autre part, regardez
1) si n et m sont paires cela ne peut aller car leur somme est multiple de 4 et pas 2014.
2) si n et m sont de parités différents la somme des carrés est impaire, donc cela ne peut aller
3) il reste le cas n et m impaires qui pourraient à priori aller, mais, en fait, non:
écrivez n=2k+1 et m=2l+1
n²+m²=4(k²+k)+4(l²+l)+2
or k²+k=k(k+1) produit de deux entiers consécutifs donc résultat pair, même chose pour l²+l par conséquent on peut écrire :
n²+m²=8(k'+l')+2
Eh bien le voici le modulo 8...

En fait c'est un peu comme ça que j'avais résolu l'exercice dans un premier temps, mais je n'avais pas fait le rapprochement avec le modulo 8... je mérite une baffe