classique des polynômes: somme de deux carrés

[Snowey]

Bonsoir ! Je suis tombé en colle sur ce résultat à montrer:
"Soit tel que . Montrer qu'il existe tel que "

Je dois rendre cet exercice rédigé proprement à mon professeur, et j'aimerais vos avis, si vous avez le temps de lire ma démarche de démonstration, quant à la rigueur de cette dernière.
Je vous en serais très (très) reconnaissant.

On considère pour lequel la fonction polynomiale associée est positive sur . On raisonne de manière générale (la preuve donnera C et D, que le polynôme A considéré ait ses racines dans comme dans )
On note l'ensemble des racines réelles de A de valuations et l'ensemble des racines complexes non réelles de A, de valuations (cette écriture est justifiée par le fait que ).

Je peux donc écrire la factorisation de A dans : , pour l'instant.
Dans , on le factorise alors immédiatement sous la forme .
On a donc en particulier pour tout i, le polynôme obtenu en "factorisant les racines conjuguées" est de signe constant strictement positif dans R (par la réciproque du théorème des valeurs intermédiaires: il n'admet pas de zéro donc est de même signe), et par suite, .
On arrive donc rapidement à la condition .
On en conclut que les ordres de multiplicité r sont tous pairs et qu'en réalité !
En effet, s' il en existe des impairs, alors est un produit de monômes dont certains de degrés impairs, et par conséquent elle s'annule et change de signe au moins une fois (et celà même si le nombre de monômes de degré impairs est pair, bien sûr, et quel que soit le signe de ), ce qui est en contradiction avec l'hypothèse initiale.
On a donc montré que l'ordre de multiplicité de chaque racine réelle de A est paire, i.e que .
Le plus dur est fait !

Avant de réécrire A, on remarque que , c'est à dire correspond tout simplement au produit d'un polynôme à coefficients complexes et de son conjugué.
On peut maintenant revenir à l'écriture (1) , qui donne alors .

On a ainsi . En posant , , on a d'après (2) , ce qui donne bien le résultat !

Je remercie tout ceux qui ont pris le temps de lire toute ma démonstration.
Merci encore,

Snowey.
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[Seirios]

Bonsoir,

Cela me semble tout à fait correct

Pour voir que , tu peux également remarquer que . Comme P est positif, le coefficient dominant est nécessairement positif. Cela dit, ce serait un développement supplémentaire dans ton raisonnement, il vaut mieux le rédiger comme tu l'as fait

[Seirios]

Une autre manière de montrer que les sont tous pairs.

Supposons que a soit une racine réelle de P, de multiplicité n impaire. Alors , avec . Comme P est positif, on en déduit que . Par continuité de Q, on en déduit que Q(a)=0, ce qui est impossible par définition de la multiplicité d'une racine. Donc nécessairement, n est paire.

[Snowey]

Merci d'avoir répondu aussi vite, et d'avoir tout lu !
J'ai presque réussi à le mener à bout en kholle (moi qui suis d'habitude très moyen !), mais le prof était tellement peu loquace que .... :/
Enfin !
Merci encore, Seirios

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

Ah, j'aime beaucoup cette deuxième démonstration du fait que les valuations sont paires !

Une autre manière de montrer que les sont tous pairs.

Ben justement, je craignais que ma démonstration ne soit pas très claire sur ce point là. Outre l'aspect intuitif de la réponse, je trouve ma justification légèrement ... superficielle, non ? Je n'ai pas vraiment prouvé grand chose en disant

En effet, s' il en existe des impairs, alors P est un produit de monômes dont certains de degrés impairs, et par conséquent elle s'annule et change de signe au moins une fois

Ta méthode, de plus, utilise un outil très simple et reste proche des polynômes (et pas des fonctions polynômiales associées), qu'il faut aussi savoir manipuler facilement.

[Seirios]

Pour justifier ton approche, je pense que le meilleur moyen est d'ordonner les racines réelles : . Puis tu prends la première racine ayant une multiplicité impaire, et alors sur tu es sûr que P sera négatif.

[Snowey]

Euh, je vais surement baisser dans ton estime, mais je ne vois pas où est la justification
Si je choisis dont les racines sont -3 (ordre 2), 0 (ordre 3) et 1 (ordre 2), il est négatif sur l'intervalle et non pas sur
C'est alors ?
Bon, mais sans s'embêter, peut on dire, en toute rigueur et cependant avec un argument simplissime, que c'est un produit de monômes qui alternent donc une seule fois de signe. On se ramène à un produit de monômes et de carrés, qu'on néglige puisque qu'ils sont positifs. Les règles élémentaires du produit impliquent nécessairement que le signe du produit change une fois !
Qu'en penses tu ? ^^

[Snowey]

En fait, si on est rigoureux à l'extrême, on peut prédire l'intervalle sur lequel le polynôme (sa fonction) sera négatif:
je choisis sans perte de généralité son coefficient dominant positif, et je considère uniquement ses racines d'ordre impair (c'est peut être ce que tu entendais par "ordonner les racines" ) que j'ordonne:
Si elles sont en nombre impair, alors Q est négatif sur
Sinon, le polynôme est négatif sur .
Je pense que c'est ça ^^

Mais bon, on s'éloigne un peu, et surtout tu en as déjà fait une démonstration rigoureuse. Disons qu'à l'oral cet argument du changement alterné des signes (que je trouve d'ailleurs très rigoureux) doit passer ^^

Amicalement

Snowey

[Seirios]

Euh, je vais surement baisser dans ton estime, mais je ne vois pas où est la justification
Si je choisis dont les racines sont -3 (ordre 2), 0 (ordre 3) et 1 (ordre 2), il est négatif sur l'intervalle et non pas sur
C'est alors ?

Oui, c'est bien sûr

Bon, mais sans s'embêter, peut on dire, en toute rigueur et cependant avec un argument simplissime, que c'est un produit de monômes qui alternent donc une seule fois de signe. On se ramène à un produit de monômes et de carrés, qu'on néglige puisque qu'ils sont positifs. Les règles élémentaires du produit impliquent nécessairement que le signe du produit change une fois !
Qu'en penses tu ? ^^

Cela dépend des détails que l'on demande. D'un point de vue purement mathématique, ce n'est pas vraiment une preuve. De toute manière, et de façon générale, il faut se méfier des résultats qui semblent très intuitifs Et puis un argument rigoureux ne serait pas plus long que ce que tu écris, alors pourquoi s'en priver ?

[Seirios]

En fait j'ai fait une erreur dans ce que j'ai dit : ce qui est sûr, c'est qu'il y a un changement de signe en , donc P est postif sur et négatif sur ou l'inverse.

[Snowey]

Oui, voilà, dire qu'il y a changement de signe suffit, non ? (même rigoureusement, je veux dire) Le raisonnement que j'ai tenu dans mon dernier message suffit-il selon toi ?

Oui, tu as bien sûr raison: toujours se méfier du simple. Mais des fois je ne trouve pas évident de distinguer ce qui est admis de ce qui ne l'est pas. (dans le doute, mieux vaut penser que rien ne l'est, mais bon ^^)

[Seirios]

Oui, voilà, dire qu'il y a changement de signe suffit, non ? (même rigoureusement, je veux dire) Le raisonnement que j'ai tenu dans mon dernier message suffit-il selon toi ?

Je pense que ça l'est tout à fait.