Bonsoir ! Je suis tombé en colle sur ce résultat à montrer:
"Soit tel que . Montrer qu'il existe tel que "
Je dois rendre cet exercice rédigé proprement à mon professeur, et j'aimerais vos avis, si vous avez le temps de lire ma démarche de démonstration, quant à la rigueur de cette dernière.
Je vous en serais très (très) reconnaissant.
On considère pour lequel la fonction polynomiale associée est positive sur . On raisonne de manière générale (la preuve donnera C et D, que le polynôme A considéré ait ses racines dans comme dans )
On note l'ensemble des racines réelles de A de valuations et l'ensemble des racines complexes non réelles de A, de valuations (cette écriture est justifiée par le fait que ).
Je peux donc écrire la factorisation de A dans : , pour l'instant.
Dans , on le factorise alors immédiatement sous la forme .
On a donc en particulier pour tout i, le polynôme obtenu en "factorisant les racines conjuguées" est de signe constant strictement positif dans R (par la réciproque du théorème des valeurs intermédiaires: il n'admet pas de zéro donc est de même signe), et par suite, .
On arrive donc rapidement à la condition .
On en conclut que les ordres de multiplicité r sont tous pairs et qu'en réalité !
En effet, s' il en existe des impairs, alors est un produit de monômes dont certains de degrés impairs, et par conséquent elle s'annule et change de signe au moins une fois (et celà même si le nombre de monômes de degré impairs est pair, bien sûr, et quel que soit le signe de ), ce qui est en contradiction avec l'hypothèse initiale.
On a donc montré que l'ordre de multiplicité de chaque racine réelle de A est paire, i.e que .
Le plus dur est fait !
Avant de réécrire A, on remarque que , c'est à dire correspond tout simplement au produit d'un polynôme à coefficients complexes et de son conjugué.
On peut maintenant revenir à l'écriture (1) , qui donne alors .
On a ainsi . En posant , , on a d'après (2) , ce qui donne bien le résultat !
Je remercie tout ceux qui ont pris le temps de lire toute ma démonstration.
Merci encore,
Snowey.
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