fonction de classe C1 par morceaux

[invite9f31e17a]

Bonjour,

soit une fonction f 2pi périodique, impaire, et pour tout t appartenant à [0, ] f(t)=sin²t .

On nous demande de construire la courbe représentative de f sur [-3pi,3pi]
f'(t)=2costsint
De ce que j'ai tracé, j'en déduis que f est continue.
Pourtant après on nous demande d'en déduire que f est CM2, ce qui veut dire continue par morceaux.
J'comprends pas trop pourquoi on en déduit qu'elle est continue par morceaux si elle est continue.

Ensuite on nous demande de déterminer la convergence de la série de fourier de f.
Et là on utilise le théorème Dirichlet: f appartient à CM2 et f de classe C1 par morceaux.....;;"
J'ai une petite question de définition: Une fonction f de classe C1 est une fonction dérivable sur I dont sa dérivée est continue sur cet intervalle.
Quelle est la différence avec une fonction de classe C1 par morceaux?

Merci d'avance pour vos réponses!

Bon dimanche
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[invite3ce72bf9]

Bonjour,

Une fonction de classe C1 sur IR est effectivement une fonction continue dérivable et de dérivée continue.
Une fonction de classe C1 par morceaux vérifie les mêmes propriétés mais par morceaux. Donc sur chaque morceau la fonction est continue dérivable et de dérivée continue mais sur tout IR, la fonction et ou la dérivée peuvent être discontinues.

Dans ce cas, Dirichlet dit que le converge de la série de Fourier est simple. Les coefficients seront c_n=o(1/n)

Cordialement,
MisterDa

[invite57a1e779]

Bonjour,

Lorsque l'on est confronté à l'utilisation du théorème de Dirichlet, il faut vérifier que «la fonction f est de classe C¹ par morceaux» et, dans certains cas, il est immédiat que la fonction est de classe C¹, a fortiori de classe C¹ par morceaux.

Mais comme cette dernière propriété est suffisante pour le théorème de Dirichlet, il est parfois plus simple de prouver directement que la fonction est de classe C¹ par morceaux, ce qui est le cas de ton exercice.

La fonction f est définie «par morceaux», et il est immédiat de prouver qu'elle est de classe C¹ (et même de classe C^∞) par morceaux. Pour prouver qu'elle est de classe de classe C¹, il faut étudier comment se raccordent les morceaux, ce qui est un travail inutile. Par contre ce travail sur le raccord serait nécessaire pour prouver que la fonction n'est pas de classe C², alors qu'elle est de classe C² par morceaux.