Equation diff. du 2éme ordre linéaire à coef cst

[inviteebb51a33]

Bonjour,
petite question;

je souhaite calculer les solutions y de;
y"+2y'+2y=2e^x
je pose y"+2y'+2y=0
je calcule delta, pour l'instant c'est easy, j'obtiens ainsi un delta negatif

donc grâce à mon cours brillant je calcul mes 2 solutions
et j'ai c'est là que j'ai un hic. J'ai mes 2 petites solutions (-1+i; -1-i)
mais pour donner la solutions générale, il faut la mettre sous forme y=e^⋋x(⋋cosbetax+musinbetax) mais j'ai un bug, je vois pas comment le remplacer là-dedans.

Merci d'une réponse d'avance

farenheit37_premiére année
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[inviteebb51a33]

allo? personne peut donner une piste

[invite57a1e779]

Bonjour,

[inviteebb51a33]

hmm ok merci beaucoup xD

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3ce72bf9]

Bonjour,

tu cherches les solutions réelles de ton equadiff homogène si j'ai bien compris. Les racines sont complexes conjuguées l=u+iv, dans ton cours il doit être montré que la solution peut être donnée par
f(t) = exp(ut) × (Acos(v t)+ Bsin(vt)).

Après tu détermines A et B à l'aide des conditions initiales.

Cordialement,
MisterDa

[inviteebb51a33]

oui j'ai mes 2 solutions complexes, mais enfaite c'est là que je bug, car effectivement il faut mettre sous forme f(t) = exp(ut) × (Acos(v t)+ Bsin(vt)), mais
j'ai du mal à trouver A et b

[inviteebb51a33]

arght c'est bon, thank

[invite3ce72bf9]

Oui, tes solutions sont complexes (puisque c'est des exponentielles complexes). En fait le truc, c'est que tu peux montrer que la partie réelle et la partie imaginaire de ta solution complexe sont des solutions réelles linéairement indépendantes. Par suite, n'importe quelle solution réelle apparait comme une combinaison linéaire de ces deux solutions et ça te donne la forme avec les sin et les cos.

Quand tu cherches les solutions de l'équation homogène tu dois avoir deux conditions initiales (sur y et y'). Tu auras deux équations à deux inconnues (A et B).

[inviteebb51a33]

ok ça confirme ce que je voulais faire, merci