Bonsoir, J'ai quelques questions en relation avec les espaces euclidiens auxquelles je ne trouve pas de réponses:
1-Soit un vecteur n, est-ce qu'on a l'existence d'un hyperplan tel que n soit normal à cet hyperplan ?
2-Supposons l'existence de cet hyperplan est-il unique et donc tous deux hyperplans 'orthogonaux' à ce vecteur sont égaux?
Merci infiniment de vos réponses
Déjà il faut exclure le cas du vecteur nul. Prenons donc un vecteur n non nul
Pour le 2), soit x dans H1. Maintenant, comme H2 est un hyperplan, x s'écrit de façon unique comme x = y + t.n, t réel et y dans H2
<x,n> = <y+tn, n> = t ||n||²
Mais x est normal à n, donc t=0, et par suite x=y. Ainsi x appartient à H2, et H1 C H2. On a donc H1 = H2 en refaisant le même raisonnement avec un élément de H2.
Pour le 1) : Il suffit de considérer H = { x dans E | <x,n> = 0 }. On peut montrer que c'est un espace vectoriel, reste la question de sa codimension.
x -> <x,n> est une application linéaire, son image est de dimension 1, donc par le théorème du rang, la codimension du noyau est égale à 1 : un tel hyperplan existe, et on sait même le décrire
Merci Tryss2 j'ai très bien saisi ton raisonnement
Sinon en essayant de démontrer le 1 j'avais oublié le fait que x est décomposable en un élèment dans H2 + ... donc je n'avais aucune issue.
