résolution de système et matrice échelonnée

[kizakoo]

Bonjour,
Pour résoudre (par exemple) un système de 3 équations à 3 inconnus on peut recourir à une matrice qu'on va échelonner et , à la fin, on trouve une solution unique MAIS si par exemple cette matrice est de déterminant nul (donc solution non unique ou inexistante) ?

Ma question est: pour résoudre un système est-ce qu'on opte directement pour la matrice échelonnée ? ou faut-il faire des vérifications pour ne pas tomber dans des contradictions dans le cas où le système n'admet pas (dès le départ ) des solutions ou il en admet plusieurs?

Je suis un peu embrouillé pouvez-vous m'aider?
Merci
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[invite64217fba]

Salut !

Il n'y a pas vraiment de "contradictons", si le déterminant de ta matrice est nul alors il aura une infinité de solutions ! Si ce n'est pas le cas, tu auras effectivement une solution unique !

Pour ta question, sauf si tu utilises la méthode de Cramer de résolution de système linéaire qui fait intervenir le determinant de la matrice au dénominateur, tu t'en fiches de savoir si celui-ci est nul, juste tu auras un truc de la forme "x = ky" par exemple ( des solutions dépendantes des autres et donc non uniques) donc une infinité de solutions !

Pour avoir (x,y,z) =( 1,2,3) par exemple (solution unique), il suffit que ton déterminant soit non nul.

A titre d'exemple :
2x+y=1
2x+y=1 est un système comme un autre sauf que le déterminant est nul : En effet le systeme est équivalent à l'équation 2x+y=1. Donc ton ensemble de solutions c'est ta droite d'équation y=-2x+1 Donc S={x,-2x+1} : Une infinité de solution.

C'est clair ou pas trop ?

[kizakoo]

Bonsoir Wombozo et merci de ta réponse,
Au fait je voulais juste savoir ce qui se passerai à la fin si l'on se met à échelonner une matrice de déterminant nul, en vue d'une résolution d'un système, ... d'après ta réponse (si j'ai bien compris) on trouvera des solutions dépendantes donc une infinité... A priori, oui, on se fout de la nullité du déterminant sauf pour le cas de cramer où il est dans le dénominateur .

J'espère ne pas m'être trompé

[gg0]

Heu ... Kizakoo,

essaie de voir ce que donne
x+y=1
x+y=2
où le déterminant est nul. " donc une infinité..." Vraiment ?

Cordialement.

NB : Généraliser avec un seul exemple n'est pas très sérieux !

[A voir en vidéo sur Futura]

[kizakoo]

Une infinité ou l'ensemble vide ...
Et donc si ,d'emblée, le système n'admet aucune solution qu'est ce qu'on trouverait après avoir échelonner la matrice?
Pour une infinité de solutions on trouve des solutions dépendantes mais dans la cas de l'ensemble vide...
Une réponse m'intéresse vraiment. Ca serait gentil de votre part gg0 d'y répondre puisque vous l'avez suscitée

[gg0]

Ben .. tu as un cas, regarde !

As-tu regardé pour un système qui a une infinité de solution, par exemple celui du message #2 ou celui_ci :
x+y+z = 2
x-y+z = 3
2x+2z = 5

Avant de demander aux autres, tu peux commencer à réfléchir par toi-même, c'est toi qui veux savoir.