Triangle de Pascal et nombres premiers

[invitee11e5e5a]

Bonjour à tous !

Aujourd'hui je me suis intéressé au triangle de Pascal.

J'ai appris que n est premier si et seulement si tous les termes de la ligne de rang n du triangle de Pascal (sauf le premier et le dernier, qui valent toujours 1) sont multiples de n (ce qui m'a surpris étant donné que cette figure est générée uniquement par addition successive).
De plus j'ai appris que la somme de tout les terme de rang n vaut exactement : .

La somme des termes de rang n exclus du premier et dernier terme vaut donc : .

Donc si n est premier, on sait que est divisible par n.

La question que je me pose, c'est est-ce que la réciproque est vrai ? (A l’exception du contre exemple trivial n=1)
Si la réciproque est fausse, est-il possible de généraliser sur la forme des entiers respectant cette règle ?

J'ai essayé de faire un petit programme sur matlab pour vérifier cette conjecture pour les 1000 premiers entiers, mais rapidement matlab procède à des approximations vu la progression exponentiel des termes à manipuler =/

J'espre que vous avez une idée, ou que vous saurez m'aiguiller.
Merci pour votre attention !!
Azerus
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[invitee11e5e5a]

Ou on peut poser l'affirmation légèrement plus contraignante suivante :

Si n>2 est premier, on sait que est divisible par n.
Mêmes questions pour la réciproque.

Azerus

[Merlin95]

La question que je me pose, c'est est-ce que la réciproque est vrai ? (A l’exception du contre exemple trivial n=1)

Non n peut diviser , sans être premier, on trouve la terminologie pseudo-premier pour de tel nombre (le plus petit pour la base 2 est 341).

[invitee11e5e5a]

Merci Merlin pour ta réponse

Je pense qu'on peut clore le sujet.

Bonne soirée !
Azerus

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf3b174e]

Donc si n est premier, on sait que est divisible par n.

2^n - 2 n’est divisible que par 2 ???
Revoir formulation

[invitef29758b5]

Salut

cette figure est générée uniquement par addition successive

Pas uniquement .
https://fr.wikipedia.org/wiki/Combin...C3%A9matiques)

Pour le reste voir les nombres de Mersenne

[invite51d17075]

@Iharmed:
pour n=5 2^5-2=30 divisible par 2,5 et 3......

sinon, je ne vois pas directement le rapport avec les nb de Mersenne de la forme 2^n-1
Cdt. ?

[invitee11e5e5a]

@iharmed
n'est évidemment divisible que par 2, en revanche la formule que j'ai posé respecte bien la propriété énnoncé (mais pas la réciproque, voir le message de Merlin), d'ailleur je viens de voir que cette méthode est même utilisé comme test de primallité : https://fr.wikipedia.org/wiki/Test_d...3%A9_de_Fermat

@Dynamix
Les nombres premiers de Mersenne ne sont pas lié avec à la propriété que j'ai énoncé. La formule que j'ai posé ne donne pas de nombre premier, elle est utile uniquement pour tester la primalité d'un nombre n.