Bonjour à tous, je bloque sur une démonstration d'une proposition que j'ai vu dans un livre si vous pouvez m'aider à comprendre un peu.
Soit A ∈ Rn un compact et une fonction f : A--> Rn continue. Alors f peut être prolongée continuellement sur Rn, i.e. il existe une fonction tilde{f}: Rn→ Rn telle que tilde{f}(x)=f(x) pour tout x dans A.
Et comme démonstration on a: Puisque A est compact, il existe un sous-espace dense et au plus dénombrable {a^1, a^2, . . . } de A. Soit dist(x,A) la distance du point x à A, i.e. dist(x,A) = inf {|x−a|:a∈A}, et ϕ_i(x)=max{2−(|x−a^i|/dist(x,A)),0} pour x n'appartenant pas à A, alors
tilde{f}(x)=f (x) pour x ∈ A et tilde{f}(x)=[(\sum_{i>=1}(2^-i)ϕ_i(x))^-1][\sum_{i>=1}(2^-i)ϕ_i(x)f(a^i)] pour x / ∈ A et par suite définie un prolongement continue de f.
Merci d'avance.
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