Une alternative à l'homologie : le degré topologique de Brouwer

[Seirios]

Bonsoir à tous,

Je dois avouer que mon titre est un peu racoleur. En fait, j'ai découvert il y a quelques mois le degré topologique, qui semble être présenté le plus souvent comme un outil d'analyse, alors qu'il permet de montrer de nombreux résultats (non triviaux) en topologie, comme le théorème d'invariance du domaine, le théorème du point fixe de Brouwer ou le théorème de Jordan ; or il se trouve que ces résultats sont le plus souvent montrés en utilisant les groupes homologiques, ce qui explique le titre que j'ai choisi. (Bien évidemment, je suis conscient que les groupes homologiques ne se limitent pas à cela, c'est pourquoi mon titre est bien racoleur.)

Quitte à faire de la pub pour cette notion, voici un petit pdf que j'ai rédigé sur le sujet, où j'ai mis l'accent sur les applications en dehors des équations différentielles (on pourra se référer aux références citées en fin de texte pour ce point). Vous pourrez en particulier y trouver le théorème du point fixe de Brouwer, le théorème fondamental de l'algèbre, le théorème de Rouché (analyse complexe), le théorème de Jordan, le théorème d'invariance du domaine, le théorème de la boule chevelue et le théorème du hérisson !

Quand un seul outil permet de montrer autant de théorèmes difficiles, il devient forcément incontournable !

Degré topologique de Brouwer.pdf

Toute remarque ou question est bien sûr la bienvenue.
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[Seirios]

Pas de commentaires ?

[inviteea028771]

Pas grand chose à dire si ce n'est que c'est très bien : clair, concis, et avec un tas d'exemples d'applications

C'est un format bien adapté pour être une annexe d'un cours qui se servirait régulièrement, par exemple, du point fixe de Brouwer

[invite33c0645d]

J'ai lu en travers. A première vue, ce document est très bien fait, clair, ... J'ai beaucoup de compliments à faire. Je vais re-lire, mais cette fois-ci plus en détail ce qui y est formulé!

Si j'utilise ce document à titre personnel, il aurait été bien que j'ai un vrai nom. Si l'on voit "Degré topologique, Seirios" dans mes sources, on croira à une blague de ma part!

@Tryss : Tout à fait d'accord avec toi, pour l'instant je crois que ce document est digne de figurer dans une bibliographie!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e03d2a]

Salut,

merci pour ce document.

J'ai releve quelques erreurs de typographie:
- page 1: "moins de travaille"
- page 3 preuve du theoreme 2.1: "une de fonctions"
- page 10 preuve du theoreme de Brouwer: r designe deux objets differents.


Par ailleurs, dans la definition 1.1, axiome d'additivite, la condition "" ne semble erronee puisque alors peut etre sur le bord de ou de .


Aussi, toutes les occurrences de "singulier" doivent etre remplacees par "regulier".


Enfin, pourquoi se ramener au cas ou est de classe ? Ne serait-il pas possible de supposer de classe , ce qui simplifierait la section 2?


Encore merci pour le document.

[Médiat]

Si Serios est d'accord, ce document peut rejoindre le fil http://forums.futura-sciences.com/ma...forumeurs.html

[Seirios]

Si j'utilise ce document à titre personnel, il aurait été bien que j'ai un vrai nom. Si l'on voit "Degré topologique, Seirios" dans mes sources, on croira à une blague de ma part!

Si c'est pour une utilisation "officielle", on peut toujours s'arranger par messages privés.

Si Serios est d'accord, ce document peut rejoindre le fil http://forums.futura-sciences.com/ma...forumeurs.html

Pas de problèmes.

J'ai releve quelques erreurs de typographie:
- page 1: "moins de travaille"
- page 3 preuve du theoreme 2.1: "une de fonctions"
- page 10 preuve du theoreme de Brouwer: r designe deux objets differents.

Corrigé.

Par ailleurs, dans la definition 1.1, axiome d'additivite, la condition "" ne semble erronee puisque alors peut etre sur le bord de ou de .

C'est vrai, mais c'est plus ou moins sous-entendu, sans quoi l'écriture n'aurait pas de sens. Il me semble que cela permet d'alléger l'énoncé sans pour autant le rendre ambigu. De la même manière, je n'ai pas précisé que devait être un ouvert borné, une fonction continue sur , etc.

Aussi, toutes les occurrences de "singulier" doivent etre remplacees par "regulier".

Corrigé.

Enfin, pourquoi se ramener au cas ou est de classe ? Ne serait-il pas possible de supposer de classe , ce qui simplifierait la section 2?

En fait, le théorème de Stone-Weierstrass est utilisé pour se ramener au cas , mais on utilise seulement la régularité , donc cela importe peu...

[invite97d79020]

Merci, Seirios pour ce document super bien rédigé. Je m'intéresse au théorème de Jordan en ce moment et suis stupéfait de la généralisation que l'on peut obtenir avec ce degré! Je lirais plus en détail, mais la notion me parait beaucoup plus dans le genre de maths que j'aime faire que toutes les histoires d'homotopies, homologie, etc... Bref, merci !

[Médiat]

Bonjour,

Si Seirios est toujours d'accord pour placer ce document dans le fil "Contribution des forumeurs", j'aurais besoin de la dernière version (qui peut être téléchargé dans ce fil), d'un titre (éventuellement) et d'un résumé.

Cordialement

[Seirios]

Bonjour,

Si Seirios est toujours d'accord pour placer ce document dans le fil "Contribution des forumeurs", j'aurais besoin de la dernière version (qui peut être téléchargé dans ce fil), d'un titre (éventuellement) et d'un résumé.

Pour le titre, autant reprendre celui du document : Degré topologique de Brouwer. Pour le résumé, en reprenant le premier paragraphe de l'introduction :

L'objectif de ce document est de faire davantage connaître un outil très puissant dans l'étude des propriétés topologiques des espaces euclidiens , à savoir le degré topologique de Brouwer. En effet, la plupart des propriétés topologiques telles que le théorème de Jordan, le théorème d'invariance du domaine ou le théorème de la boule chevelue, que l'on démontre le plus souvent grâce à une théorie homologique, peuvent également être démontrés en utilisant le degré topologique de Brouwer; qui plus est, cette dernière théorie nécessite moins de travaille pour être introduite.
Notre approche est ici axiomatique : la première section donne une définition axiomatique du degré topologique de Brouwer, la seconde montre son unicité, puis la troisième montre son existence par une construction explicite. La dernière section est consacrée à diverses applications topologiques, dont les théorèmes précédemment cités.

Merci, Seirios pour ce document super bien rédigé. Je m'intéresse au théorème de Jordan en ce moment et suis stupéfait de la généralisation que l'on peut obtenir avec ce degré! Je lirais plus en détail, mais la notion me parait beaucoup plus dans le genre de maths que j'aime faire que toutes les histoires d'homotopies, homologie, etc... Bref, merci !

Il existe plusieurs preuves du théorème de Jordan. Par exemple, An elementary proof of the Jordan-Schoenflies theorem, The Jordan curve theorem via the Brouwer fixed point theorem. Il y a aussi Topology in the complex plane qui est intéressant, et puis A nonstandard proof of the Jordan curve theorem. Finalement, il y a la preuve proposée ici, et la preuve "usuel" basée sur l'homologie, pouvant être trouvée dans le Hatcher par exemple.

Pour plus de références, tu regarder ce fil sur mathoverflow : Nice proof of the Jordan curve theorem?

[invite179e6258]

Il y a aussi une preuve du théorème de d'Alembert qui utilise le degré de Brouwer (et d'autres idées).

[invite97d79020]

Je suis en train de lire. J'ai une petite question concernant la section théorème de Jordan dont je parlais plus haut.

Dans le document, il est démontré l'énoncé suivant: Si A et B sont deux compacts homéomorphes de alors leurs complémentaires respectifs ont le même nombre de composantes connexes.

Je voudrais savoir ce qu'il en est lorsqu'on ne suppose plus A et B compacts, mais seulement fermés (on enlève la condition de précompacité). Quel genre de contre exemple peut alors surgir à votre avis? J'ai du mal à en trouver.

Merci d'avance.

[Seirios]

Bonjour,

Plaçons-nous dans . On se donne une droite que l'on fait coulisser le long d'une droite perpendiculaire ; quoi qu'il en soit, la surface réglée que l'on va obtenir sera homéomorphe à , et si l'on fait les choses de manière suffisamment sympathique, son image dans sera fermée. Si l'on ne fait que translater le long de , on obtient qui a deux composantes connexes; si l'on fait tourner de 180 degré tout en la translatant le long de , on obtient une sorte de ruban de Möbius et est connexe.

[invite9dc7b526]

tiens, ça ne me paraît pas du tout évident ça.

[invite93e0873f]

J'ai l'impression qu'il y a méprise dans l'exemple de Seirios (à moins bien sûr que j'aie mal compris ce qui y est fait).

La construction générale qui est proposée dans son message va essentiellement (il me semble) comme suit (avec la droite prise comme l'axe des z) : étant donné une application (continue) , on construit une surface réglée comme l'image de l'application . Or, considérons . Évidemment, . Nous voyons que .

Donc, quelle que soit la fonction , il existe un homéomorphisme de tel que . En particulier, a toujours deux composantes connexes.

[Seirios]

Effectivement, mon exemple ne fonctionne pas. Pour s'en rendre compte, il suffit de regarder la projection sur un plan, qui n'est pas connexe dans les deux cas, donc l'un ne peut pas être lui-même connexe.

Finalement, je prends le contre-pieds et je propose un argument pouvant indiquer que le résultat est vrai sans l'hypothèse de compacité. D'abord une notation : si est un sous-ensemble d'un espace topologique , on notera le nombre de composantes connexes de (ce n'est pas une notation très bien définie, mais ici il n'y aura pas d'ambiguïté).

Donnons-nous un fermé non compact ; on s'intéresse donc à . On note une projection stéréographique. L'adhérence de dans la sphère est . On remarquera que , puisque, en utilisant la connexité par arcs des composantes connexes, il n'est possible de relier deux composantes de qu'en passant par le pôle nord (sans quoi il serait possible de faire de même pour ). Si , on peut effectuer une rotation pour placer un point qui n'est pas dans au pôle nord. On note la nouvelle projection stéréographique, puis . On remarquera que , puisqu'on ne perd que la composante contenant le pôle nord.

On est donc passé d'un fermé non compact (inclusion stricte) à un fermé compact vérifiant . Pour montrer que ne dépend que de la classe d'homéomorphisme de , il suffit (grâce au cas compact) de montrer que la transformation est elle-même invariante par homéomorphisme.

Donnons-nous un homéomorphisme entre deux fermés non compacts, et refaisons la construction. On compose par une projection stéréographique , que l'on prolonge en un homéomorphisme en envoyant le pôle nord sur le pôle nord , on compose par une rotation puis par une projection stéréographique pour finalement obtenir un homéomorphisme .

En résumé, si (inclusion stricte) sont deux fermés non compacts homéomorphes, alors et sont deux compacts homéomorphes, d'où par le cas que l'on connaît déjà, d'où .