Intégration avec théorème des résidus

[inviteeda99536]

Bonjour,

J'ai intégré une fonction avec le théorème des résidus, mais la réponse que j'obtiens ne semble pas être la bonne, et je ne trouve pas mon erreur...

L'intégrale est :



La fonction se comporte bien à l'infini (b est réel positif) et possède deux pôles,. J'ai fait un contour classique, l'hémisphère supérieur du plan complexe, avec deux petites encoches sur l'axe réel pour contourner par le haut les pôles. Par le théorème des résidus, j'ai que l'intégrale dans le plan complexe donne zéro (parce qu'il n'y a pas de pôles dans le contour) , l'intégrale sur le grand demi-cercle donne zéro (vu la gaussienne qui décroit très vite quand z tend vers l'infini) et deux contributions des pôles, qui me font apparaître un sinus quand je les somme...

Ma réponse est alors :



Quand je calcule l'intégrale numériquement, je n'ai pas la même réponse qu'avec la formule que j'ai trouvé. De plus, si je regarde la solution en , l'intégrale me donne simplement la transformée de fourier d'une gaussienne (qui est une gaussienne) et ma formule donne 0...

Quelqu'un voit où est le problème ? C'est les conditions d'application du théorème qui ne sont pas bonnes ?

Merci d'avances pour vos réponses !
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[topmath]

Bonjour à tous:

Salut M_Ostrogradsky est ce ça votre fonction pour quand fasse pas d'erreur ?

Cordialement

[inviteeda99536]

Exactement ! Mais je viens de me rendre compte que l'intégrale sur le grand demi-cercle ne donne pas zéro... Ca doit être ça mon erreur !

En effet, sur le grand demi cercle, et du coup la gausienne donne , ce qui ne tend pas vraiment vers zéro pour R qui tend vers l'infini... J'ai vu que pour intégrer une gausienne seule dans le plan complexe, on peut utiliser un contour en forme de parallèlogramme avec comme sommets et le changement de variable , mais je ne sais pas si ça marche pour ma fonction ici, je vais essayer...

[topmath]

Re :

Autre remarque on peut pas utiliser cette formule lorsque la variable est un complexe , hors ce que je vois ici à mon avis est un complexe à moins que vous le considérer comme réel !!


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeda99536]

La variable z est un réel. C'est une intégrale qui intervient dans un problème physique, j'essaye de la résoudre...

[gg0]

Bonjour.

Le fait que l'intégrale diverge en ne pose-t-il pas un problème ? Car même en utilisant les parties finies, il y a quelque chose à considérer.

Cordialement.

[topmath]

Ok vous considérer ici que est un réel ,y' a autre détaille que tout le monde oublie la plus part du temps , dans ce genre de calcule (utilisation des résidus dans les intégrale définie et à variable réel ) , on ne peut utiliser cette formule que lorsque la variable est réel en plus , que si f(z) est une fonction symétrique par rapport à l'axe considérer . ce qui est tout à fait le contraire avec notre cas car n'est pas symétrique.

Cordialement

[inviteeda99536]

(j'ai oublié de dire que c'est la valeur principale de cette intégrale qu'il faut considérer).

Ah je ne savais pas pour la symétrie. Avez-vous une idée d'une méthode pour intégrer ceci alors ? Un grand merci pour ces réponses... (Notez que l'intégrale de 0 à l'infini m'intéresse aussi...)

[topmath]

Bonjour :

Je crois bien que votre intégrale à une solution (Intégrale du Troisième type) , seulement j'ai fait une petite une confusion avec (le Second type ) qui demande aussi une petite transformation avant le calcul lui même.

Cordialement

[topmath]

Bonjour :

Bon si notre intégrale est introduisant une autre appellation avec ( toujours considérer comme étant un réel pour M_Ostrogradsky , ou tout cour on va prendre à la place de puits considérant comme complexe pour mieux voir les choses (car généralement l’appellation de comme complexe ) :

C'est à dire que ce transforme en ainsi avec considérer comme réel alors on écris :

.Et qui est bien un Intégrale de Troisième type

le reste est un simple calcule car les points singuliers sont des pôles simple et .

Maintenant tout dépend de (considérer le cas positif et négatif de ).


Amicalement

[inviteeda99536]

Oui, mais quand je fais ce calcul, j'obtiens (cas a positif)



ce qui ne correspond pas à l'intégrale numériquement... Donc il semblerait que le théorème ne s'applique pas dans ce cas-ci.

[inviteeda99536]

(c'est , pas , désolé).

[topmath]

Bonjour :

Oui, mais quand je fais ce calcul, j'obtiens (cas a positif)



ce qui ne correspond pas à l'intégrale numériquement... Donc il semblerait que le théorème ne s'applique pas dans ce cas-ci.

Après vérification , il ce trouve que aussi la méthode utiliser dans le message#10 (Intégrale du Troisième type) , ne s'applique pas à notre cas , car avec cette fonction dois comportant un ensemble de point singuliers isolés purement complexes or les singularités que nous avant ici sont des pôles simple et réel.
En revanche j'aimerai bien connaitre la solution abréger ou la valeur numérique de celle ci ,si vous l'avez et merci d'avance .

Cordialement

[topmath]

Bonjour à tous :

Apres vérification je trouve que l'intégrale est nul c-a-d :



Cordialement