Homologie singulière

[invite14e03d2a]

Bonjour,

pour illustrer le fait que l'homologie singulière est délicate à manier (les groupes de chaînes singulières sont en général énormes) contrairement à l'homologie simpliciale, j'ai voulu calculer directement l'homologie singulière de quelques espaces. Sans utiliser de théorèmes importants donc

Le premier exemple est l'espace discret et les calculs ne posent pas de problème.

Le second exemple est l'espace grossier et là, impossible de faire les calculs! Quelqu'un aurait-il une idée? Bizarrement, je n'ai trouvé aucune source sur Internet.

Merci d'avance.
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[invite76543456789]

Salut,
Ca me semble pas d'un interet terrible de calcule la cohomologie d'un espace muni de la topologie grossière, mais j'ai l'impression qu'on peut le faire quand meme.
Pour les H_0, c'est faciles tous les 0-cycles sont tous egaux a un bord pres (prendre un chemin constant sur ]0,1[ d'extremité a et b dans X).
Maintenant pour chaque couple de points distincts a et b de X, tu te fixe un chemin donné, disons c_{a,b}, alors tout chemin reliant a à b est egal à c_{a,b} à un bord bres. Reste à montrer que ces trucs la sont aussi triviaux, pour faire ca tu remarque que tu as une regle de chasles sur les c_{a,b}, en effet en homologie c_{a,b}+c_{b,c}=c_{a,c}
Prend maintenant une chaine de bord nul somme des n_i c_{a_i,b_i} +dqqch, son bord vaut somme des n_i ([a_i]-[b_i])=0, donc tu en deduis qu'il existe une permutation s tel que a_{s(i)}=b_i.
Donc c_{a_1,b_1}+c_{a_{s(1)},b_s(1) }+...+c_{a_{s^k(1)}, b_{s^k(1)}}=0 avec k l'ordre de la permutation. En multipliant ça par n_1 qui est aussi n_{s(1)} etc... puis en repetant la meme chose pour un j qui n'est pas dans l'orbite de 1 (en decomposant la permutation en cycle en fait), on obtient que la somme des n_i c_{a_i,b_i} est nulle.
Donc le H_1 est nul.

Puis faut refaire la meme chose, pour les H_j, j'ai un peu la flemme.

Sinon, tu peux simplement remarquer qu'un espace grossier est contractile. Mais apres je ne sais aps si l'invariance par homotopie des H_j est un resultat que tu considères comme un theorème important.

[invite14e03d2a]

Oui, je considérais l'invariance par homotopie comme un théorème important.

Merci pour ton aide