Trouver les cumulants de la loi binomiale

[invite945d3fbd]

Bonjour a tous,
Mon prof nous a dit d'utiliser la formule pour trouver les deux premiers cumulants de la loi binomiale. Dans la formule, est la fonction charactéristique de la loi binomiale (elle vaut ) et les coefficients sont les cumulants.
Cependant je n'y arrive pas. Je sais que le premier cumulant est la valeur moyenne de la loi binomiale, mais je n'arrive pas a le montrer en utilisant la formule du prof.
J'arrive a . A partir de la je ne vois pas comment isoler et pour qu'ils ne dependent pas des autres . C'est ici que je suis bloqué.
Si vous avez des idées, je suis tout ouie. Merci d'avance.
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[invite179e6258]

normalement pour calculer les termes successifs d'une série de puissances, on en prend les dérivées successives en zéro.

[invite945d3fbd]

Merci de ta réponse!

normalement pour calculer les termes successifs d'une série de puissances, on en prend les dérivées successives en zéro.

Oui je sais, de la fonction génératrice des moments, mais ca ne résout pas mon probleme: il faut absolument que j'utilise la formule donnée.
Maintenant que j'y pense, mon prof nous avait fait une blague au sujet de calculer les moments de la fonction binomiale. Il avait dit qu'il calculait les 2 premiers en cours et qu'on devait calculer tous les autres (une infinité) a la maison. Je n'ai pas été le seul a avoir sous-entendu de trouver une formule générale pour le n-ieme moment et ensuite le prof nous a dit que c'était une blague.
Donc je commence a avoir des doutes au sujet de cet exercise. Ca n'a pas l'air facile.
Est-ce quelqu'un d'autre a une autre idée?
Merci encore!

[0577]

Bonjour,

il suffit de développer le membre de gauche de la dernière équation du premier message
en une série en les puissances de ik : on développe l'exponentielle puis le logarithme.
Cela permet de caculer en temps fini le n-ème cumulant (mais ce temps dépend de n et tend
vers l'infini avec n ... mais on ne veut que n=1 et 2)

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

J'ajoute que la réponse de toothpick-charlie permet bien de résoudre également le problème : il suffit de calculer les dérivées successives en zéro
du membre de gauche de la dernière égalité du premier message.
(Ensuite, je préfère utiliser des développements en série plutôt que de calculer des dérivées successives car je pense que c'est plus efficace
calculatoirement mais ce n'est pas important pour le principe).

[invite945d3fbd]

Ok merci beaucoup 0577!
J'ai une question a propos du développement de la fonction logarithme; c'est bien une expansion du logarithme complexe? Avec le module de l'argument compris entre 0 et 1?
Si oui, est-ce que est correct?