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Passage de l'équation du troisième degré à celle du deuxième degré



  1. #1
    wishmasterz

    Passage de l'équation du troisième degré à celle du deuxième degré

    bonsoir,

    j'ai l'equation suivante

    z^3 + (-2-5i)z^2 + (-11+18i)z + (28-29i)=0

    et on obtient l'equation

    z^2 + (1-3i)z + (-14-5i)=0

    j'aurais aimé savoir comment on fait le passage entre les deux?

    par horner? mais il faut d'abord trouver une solution non?

    merci

    et essayer dêtre claire

    -----


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  3. #2
    dimac29

    Re : Passage de l'equation du troisième degrès a celle du deuxième degrès

    a mon avis avant de passer a ça on t'as fait trouver une solution a cette equation puis la connaissant tu peux factoriser afin d'obtenir quelquechose du genre :
    (z-x0)(z²+(1-3i)z-14-5i)=0 avec x0 la solution trouvee précedement
    don il ne te reste qu'à trouver la solution a l'équation du second degré et donc si on ne te donne pas cette solution x0 tu dois la calculer a partir de cette factorisation je pense
    voila j'espére avoir été assez clair, c'est ce qui me parait le plus probable

  4. #3
    couillou11

    Re : Passage de l'equation du troisième degrès a celle du deuxième degrès

    bonsoir,
    tite question, tu veux dire quoi pas "horner"? jamais entendu parler...

    merci
    Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve.[Euclide]

  5. #4
    agnesi

    Re : Passage de l'equation du troisième degrès a celle du deuxième degrès


  6. #5
    wishmasterz

    Re : Passage de l'equation du troisième degrès a celle du deuxième degrès

    Citation Envoyé par dimac29 Voir le message
    a mon avis avant de passer a ça on t'as fait trouver une solution a cette equation puis la connaissant tu peux factoriser afin d'obtenir quelquechose du genre :
    (z-x0)(z²+(1-3i)z-14-5i)=0 avec x0 la solution trouvee précedement
    don il ne te reste qu'à trouver la solution a l'équation du second degré et donc si on ne te donne pas cette solution x0 tu dois la calculer a partir de cette factorisation je pense
    voila j'espére avoir été assez clair, c'est ce qui me parait le plus probable
    oui mais je la trouve comment cette solution?

    et non on ne factorise rien

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Passage de l'équation du troisième degré à celle du deuxième degré

    Quand on a un polynôme de degré n dont le premier coefficient vaut 1, la somme des racines vaut le second coefficient changé de signe.
    Dès lors, tu vois que la somme des 3 racines de l'équation du 3ème degré est 2 + 5i et la somme des 2 racines du 2ème degré est 3 i - 1
    Si ces équations sont compatibles, tu trouves assez facilement la 3ème racine.

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  10. #7
    lostdemon

    Re : Passage de l'équation du troisième degré à celle du deuxième degré

    En fait il faut dabord chercher une ou des solution imaginaires pures probables du type iy..tu fais P(iy)=.... puis tu resouds donc soit tu trouves un truc coherent soit ds des absurdités et dans ce cas il n'y a pas de solutions imaginaires...

    Ensuite tu cherches une ou des solutions réelles en faisant P(x)=...
    Dans les 2 cas tu devras séparer la partie reelle de la partie imaginaire (le raisonnement est que tous ces nombres sont reels) et t'auras donc un système...généralement t'auras une equation du 2nd degré donc du calcul delta enfin la routine puis tu vas trouver deux solutions distinctes et tu regardes si sa marche dans l'autre equation car dans le système t'auras 2 equations vu que tu separes la partie réelle et imaginaire.

    Une fois les racines en poche il reste a factoriser...Voila la méthode decrite de façon brève! bon courage!

  11. #8
    wishmasterz

    Re : Passage de l'équation du troisième degré à celle du deuxième degré

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Quand on a un polynôme de degré n dont le premier coefficient vaut 1, la somme des racines vaut le second coefficient changé de signe.
    Dès lors, tu vois que la somme des 3 racines de l'équation du 3ème degré est 2 + 5i et la somme des 2 racines du 2ème degré est 3 i - 1
    Si ces équations sont compatibles, tu trouves assez facilement la 3ème racine.
    je ne comprend absolument rien désolé.. pouvez vous me réexpliquer?

  12. #9
    Jeanpaul

    Re : Passage de l'équation du troisième degré à celle du deuxième degré

    Citation Envoyé par wishmasterz Voir le message
    je ne comprend absolument rien désolé.. pouvez vous me réexpliquer?
    Prends une équation du second degré du genre :
    x² + a x + b = 0
    La somme (x1 + x2) des racines vaut -a, c'est assez facile à voir, parce que l'équation s'écrit :
    (x - x1)*(x - x2) = 0 que les x1 soient réels ou complexes.
    Prends une équation du 3ème degré :
    x^3 + f x² + gx + h = 0
    Elle s'écrit de même :
    (x - x1)*(x - x2)*(x - x3) = 0 et on voit aisément que :
    x1 + x2 + x3 = - f

    Alors tu prends tes 2 équations, celle du second degré te dit que x1 + x2 = -(1-3i)
    et celle du 3ème degré que x1 + x2 + x3 = 2 + 5i
    Les x1 et x2 sont les mêmes dans les 2 lignes, c'est du moins ce que dit ton énoncé. Alors tu peux calculer x3 facilement.
    Il serait prudent de vérifier que le x3 trouvé est bien solution.

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