Bonsoir,
On suppose la sérieabsolument convergente.
Calculer le rayon de convergence de la série entière
Que peut-on en déduire sur la continuité de la somme de la série ?
Le
bjr,
la somme ne te fait pas penser à un développement en série de Taylor ?
Bonjour,
Connais-tu la règle de d'Alembert? https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A...e_d%27Alembert
http://uel.unisciel.fr/mathematiques...re_ch2_04.html
Et ça veut dire quoi "le an me gène"?
Utilise le fait que la série an est absolument convergente.
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
C'est plus clair sur Wiki alors : la série des an converge absolument, elle est donc convergente doncEnvoyé par stefjm
Posons :
Alors :
Donc :
Enfin :
Une série entière est continue sur son rayon de convergence donc la série est continue sur R.
Dernière modification par mehdi_128 ; 25/07/2017 à 11h10.
Si un peu avec les factoriels
Par ailleurs, j'ai vu que dans certains raisonnements ils effectuaient : la suite an est convergente donc bornée et :
Pour tout x appartenant à [-A,A],
Donc la série des un converge car la série de droite converge normalement vers Mexp(A)
En effet sur [-A,A] le
Pourquoi a t-on le droit de prendre x que entre -A et A pour montrer la convergence de la série ?
Tu cherches à avoir une majoration uniforme, donc indépendante de x. Comme tu peux le voir, tu ne peux le faire que si x appartient à un segment.
Ah d'accord, on montre que la série est convergente sur tout segment [-A,A] après il faut étudier le rayon de convergence pour savoir exactement où elle converge c'est ça ?
Puis je connaître le rayon de convergence de la série des un à partir de mon inégalité ?
Dernière modification par mehdi_128 ; 25/07/2017 à 12h45.
Ton raisonnement prends un A tout à fait quelconque, donc c'est pour tout A réel, tu peux donc en déduire immédiatement que
Ah merci beaucoup donc j'avais même pas besoin de faire la règle de d'Alembert ici.Ton raisonnement prends un A tout à fait quelconque, donc c'est pour tout A réel, tu peux donc en déduire immédiatement que
J'avais aussi pensé à une autre méthode :
La suite an converge vers 0 donc :
La série de droite est convergente elle converge simplement vers l'exponentielle de x.
non, en plus, la manière dont tu l'utilises est casse gueule car rien n'interdit que des ak soient nuls, donc les divisions .........
non ! pourquoi ?
Bah :
La série entière de terme générale x^n /n! converge vers exp(x)
Oui en effet, cette somme fait bien l'exponentielle, mais tout ce que tu as montré, c'est queBah :
La série entière de terme générale x^n /n! converge vers exp(x)
Ah oui c'est vrai !Oui en effet, cette somme fait bien l'exponentielle, mais tout ce que tu as montré, c'est que
La série des |un| est majorée par une série convergence donc la série des un converge normalement.... Elle converge donc simplement vers f. Cette majoration marche pour tout x dans [-A,A] avec A réel, donc le rayon de convergence est infini.
C'est correct ?
re-
tu vas finir par me trouver pinailleur, mais bon.
ta première suite commence à k=1 et pas k=0
donc ce serait plutôt un "f(x)-f(0)", non ? en supposant une fct f définie en 0 bien sur.
Pas compris
intitulé initial :
et dans tes derniers messages tu pars de n=0 !Calculer le rayon de convergence de la série entière
.
y compris pour ta remarque sur l'exponentielle.
Oui cette fois, cela me semble correct.
Ce n'est pas grave de façon général, ce qui est important c'est ce qui se passe "à l'infini"; les premiers termes ne sont pas importants. Mais pour ici, il n'y a pas de problème si l'on prend la convention 0!=1.
je me suis mal exprimé car la majoration par l'exponentielle est presque un autre sujet.
il n'y a pas forcement majoration pour tout x, avec une série
il suffit de prendre
on a bien
et
il faut x assez grand ( si A grand ) pour que la somme soit majorée par e(x)-1
rappel
par exemple si A=100 la somme n'est majorée par e(x)-1 que pour x>9 env.
on peut le voir comme ça !
sauf que la majoration par l'exp ne peut être dite aussi brutalement. ( au sens de "pour tout x" )
d'autant qu'il n'y a pas de x dans la série initiale.
ps: je ne saisi pas le rapport avec le 0!=1 , le terme en n=0 n'est pas dans la somme.
correction.
Donc si j'ai bien compris ta remarque concerne la majoration qui a été faite... mais si je relis la majoration, il te manque M devant e(x)-1. Ainsi dans ton exemple M=1000...et là cela doit tout changer et de manière totalement théorique cela devrait donc mieux fonctionner.
non, puisque je pointais simplement que la somme présentée n'était pas forcement majorée par e(x)-1 ( ou e(x) ) comme il avait été dit plus haut.
ça ce n'est pas moi qui l'ai affirmé.
Pour que tout soit plus clair pour tout le monde, voici la démonstration mise d'un seul coups :
la série
Notons
Soit A>0,
Soit
Or
Donc la série
Donc à partir de ceci, quel est le problème précisément ?
rien tel qu'écrit actuellement.
je faisais juste une remarque sur ce qui avait été dit auparavant sur une majoration par l'exponentielle simple, ce qui était faux.
histoire que la démo soit propre.
