Série entière, dérangement

[Kairn]

Bonjour !

Je bloque à la question 2 de l'exo suivant, peut-être quelqu'un saura-t-il m'aider !

1. On note le nombre de dérangements (permutations sans point fixe) d'un ensemble à n éléments. On pose . Montrer : .

n! étant le nombre total de permutations, on écrit l'ensemble des permutations comme l'union disjointe des ensembles de permutations à k points fixes. On a façons de choisir les k points fixes, et chacune de ces façons peut correspondre à permutations (dérangement des n-k éléments restants). Donc le cardinal de l'ensemble des permutations à k points fixes est . On somme (union disjointe) pour avoir le résultat.

2. Soit (f est bien définie). Montrer que pour |x|<1, . En déduire : .

Pour la première partie de cette question j'ai d'abord pensé à un produit de Cauchy, mais il se trouve que cela fournit la réponse à la seconde partie de la question. Je me retrouve donc bloqué à démontrer l'expression de f.

J'ai regardé (1-x)f(x). En séparant en deux sommes, en sortant un terme d'une de ces sommes, en la réindexant pour la remettre avec la première somme, je me retrouve avec : . Alors, pour identifier ceci avec exp(-x), je cherche à montrer que pour n>0, on a , ce qui revient à montrer que .

J'ai donc essayé de montrer ceci, qui me semble vrai au moins jusqu'à n=4 (donc ça a des chances d'être vrai tout le temps... ). J'ai essayé de bidouiller la formule de la question 1, mais je n'arrive à rien. J'ai pensé à une récurrence, mais je ne vois pas comment faire l'hérédité...

Des idées pour ceci ? Ou une façon plus simple de répondre à la question ?

Bonne après-midi !
Kairn
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[invite4aff0814]

je ne pense pas que cette formule fonctionne : , car dès , il y a un problème : , et non 9... ce que je sais de plus, c'est : .
Bon à part cette remarque, je n'ai pas grand chose pour l'instant.

[Médiat]

je ne pense pas que cette formule fonctionne : , car dès , il y a un problème : , et non 9... ce que je sais de plus, c'est : .
Bon à part cette remarque, je n'ai pas grand chose pour l'instant.

Bonjour,

Si, cette formule est correcte, voir le chapitre 8.1 de http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4570545, et 9 est correct.

[invite4aff0814]

Ah oui, en effet, j'avais oublié le cas (a) lors de mon dénombrement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kairn]

Merci Médiat pour ce lien !

Partant de (*), j'ai réussi à démontrer par récurrence la formule que je voulais. Mais je ne suis pas sûr de comprendre l'obtention de (*) ; le cas (b) m'échappe... Qu'entend-on par "en identifiant 1 et k" ? Quels sont les n-1 éléments à déranger ?

Edit : ah non c'est bon j'ai compris ! On dérange les éléments 2, 3, ..., n en imposant que l'image de k soit différente de 1, càd k "joue le même rôle que 1". Merci encore !