séries de Fourier / difficultés dans un exercice

[invite222052f5]

Bonjour à tous,
je suis quelque peu bloqué sur un exercice concernant les séries de Fourier, je n'arrive pas à trouver les petites astuces pour le résoudre.

j'ai une fonction 2pi périodique

f(x) = (pi-x)/2 si 0< x < 2pi

je vous épargne les détails de calcul : f est impaire : donc : Ao=An =0 et Bn = 1/n donc S(x)= (1/n) * sin(nx)

Maintenant on me demande de démontrer que sin(n) /n = (pi-1)/ 2 ( j'ai creusé sur internet et j'ai trouvé qu'il faudrait utiliser la transformation d'Abel) j'ai même trouvé que sin(n)/n = Arctan((x *sin(x)/( 1- x* cos(x))) = (pi-1)/2 . Cependant j'ai rien compris... et le problème est que j'ai jamais entendu parlé de la transformation d'Abel et que ça m'a l'air assez compliqué ) si vous pouviez m'aiguiller un petit peu là dessus j'en serais reconnaissant


( est-il possible d'écrire les équations plus proprement ? si ce n'est pas très clair je peux vous scanner mes résultats )
Merci
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[gg0]

Pour écrire des formules : http://forums.futura-sciences.com/ma...res-forum.html.

Ça évitera j'espère des égalités absurdes comme sin(n) /n = (pi-1)/ 2 . le premier membre dépend d'une lettre inconnue n, et varie, pas le second.

Par contre, dans ton exercice, as-tu regardé ce que donne f(1) ?

Cordialement.

[invite222052f5]

voila ce que je cherche à démontrer ( sûrement plus clair et moins aberrant )

[gg0]

Alors je t'ai donné la réponse.

NB : Avant d'envoyer, utilise "aperçu" (en mode répondre, ou mode avancé) pour corriger ton message, pas de = après le signe somme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

tu as obtenu f(x) sous forme de série de Fourier.
Bien.

Maintenant, relis l'indication donnée par gg0 : "Par contre, dans ton exercice, as-tu regardé ce que donne f(1) ?"

[invite222052f5]

f(1)= (pi-1)/2 ( en effet c'était tellement gros que je ne l'avais pas vu ... )

par contre ça me parait un peu facile de dire que la valeur de la somme est égal à (pi-1)/2 parce que f(1) = (pi-1)/2 non ?

[gg0]

Ben !!!! Écris la somme qui vaut f(x) pour x=1 ....

Vraiment, tu refuses de regarder ton exercice !!!

[invite222052f5]

Oui j'ai bien compris la première fois, je retombe sur le bon résultat, il y a pas de problèmes, je dis juste que je m'attendais à quelque chose plus compliqué ... m'enfin c'est tout merci du coup de pouce

on me demande par la suite de montrer que g(x) est paire avec g(x) = f(x+1) - f(x-1)



Pour que la fonction soit paire il faut que g(-x) = g(x) mais je n'ai même plus de x pour le coup

[gg0]

C'est quand même bizarre : "je dis juste que je m'attendais à quelque chose plus compliqué " ???
On s'en fout que ça soit compliqué ou pas, on fait des maths, pas des exploits ! Du coup, ton message #6 est incompréhensible, car si tu avais vu, c'était fait, pas la peine d'épiloguer !

Même chose avec "il faut que g(-x) = g(x)" Est-ce vrai ou pas ?

[invite222052f5]

Ok donc c'est fait :

pour savoir si une fonction est paire j'essaye de montrer que f(-x) = f(x)
là pour le coup avec g(x) = -1 oui g(-x) = g(x) = -1 , donc paire, je n'aime pas le résultat j'ai l'impression de m'être trompé

et il faut que je montre que la série de Fourier de g s'écrit :
et avec g(x) = -1 je retombe pas juste j'ai An=0

[invite222052f5]

désolé j'ai mis un = en trop derrière la Somme

[gg0]

Bon, assez joué !

Il faudrait que tu regardes à nouveau ce qu'est ta fonction f, ce n'est pas $x\mapsto \frac{\pi-x}2$. Relis l'énoncé du début.

[invite222052f5]

Je ne suis pas sûr de saisir pour le coup..

comment ça f(x) n'est pas (pi-x)/2 ?
désolé j'ai beau relire je comprends pas

[gg0]

Quelle est la définition de f ?

Je redis mon message : Il faudrait que tu regardes à nouveau ce qu'est ta fonction f, ce n'est pas . Relis l'énoncé du début.

Cordialement.

[invite222052f5]

f est la fonction numérique de période 2pi définie par f(x) = (pi-x)/2 si 0<x < 2pi

ensuite la série de fourier de cette fonction est Somme de sin(nx)/n
la valeur de la somme de cette série est (pi-1)/2

[gg0]

Donc f(x+1) vaut ... (*)
et f(x-1) vaut

J'imagine que ce n'est pas par la définition qu'il faut procéder, mais plutôt en utilisant la série de Fourier de f et en en déduisant celle de g.

Bon travail !

(*) donc généralement pas qui n'est pas périodique.

[invite222052f5]

Alors en effet en prenant la série de Fourier de la fontion f soit :

je tombe bien sur une fonction paire

par contre vu qu'après je dois montrer que la série de Fourier de g s'écrit


je suis un peu perdu,ça voudrait dire calculer la série de Fourier d'une série de Fourier ça ne me parait pas logique du tout, j'ai quand tenté mais ça donne 0

[gg0]

Heu ... sous cette forme, ce n'est pas vraiment une série de Fourier.
En tout cas, à toi de voir comment on y arrive. Comme tu ne présentes pas tes calculs, je ne sais pas ce que tu as fait.

[jacknicklaus]

C'est louche ton histoire. D'après g(x) = f(x+1) - f(x-1) alors g(0) = 2f(1) = pi - 1

et d'après alors g(0) = 0


ce serait pas plutôt du

??

[invite222052f5]

C'est louche ton histoire. D'après g(x) = f(x+1) - f(x-1) alors g(0) = 2f(1) = pi - 1

et d'après alors g(0) = 0


ce serait pas plutôt du

??

Je m'excuse mais cette histoire de g(x), je n'arrive pas à saisir par où il faut passer, je vais poster mes résultats pour la suite

je confirme c'est bien qu'il faut trouver

[invite184b87fd]

g est continue par morceaux, 2π-périodique, on peut donc lui appliquer le théorème de Parseval , avec ça tu devrais trouver le résulter pour la 7 .

Cependant pour la série de Fourier de g , il y a une erreur dans l'énoncé comme l'a dit jacknicklaus.

cdt

[invite6710ed20]

Bonjour
je me permets de m'immiscer dans cette discussion et peut être que je n'ai pas bien tout lu. Néanmoins j'ai une question à poser.

On connait f et sa série de Fourier. Pour pouvoir conclure on dit que les deux coïncident en x=1. C'est vrai, mais est-ce que cela a été justifié?
Si cela a été fait, ne tenez pas compte de ma remarque.

[gg0]

C'est vrai qu'il faut signaler que 1 est un point de continuité de f, fonction "continue par morceaux".

Cordialement.