Bonjour,
Alors voilà, l'équation différentielle que je dois résoudre est : y' = 2xsin(y)
j'ai résolu l'intégrale et je suis tombé sur |tan(y/2)| = exp(x²+c) (je suis sûr de ce résultat)
Mon problème se pose lorsque je dois isoler y avec la fonction arctan. En fait je ne sais pas trop comment m'y prendre. Merci.
Bonjour.
Tout dépend des conditions initiales, du domaine contenant y/2 où la tangente est définie.
Rappel Arctan(tan(a)) n'est généralement pas égal à a.
Cordialement.
Merci pour votre réponse. Donc si j'ai bien compris, je dois procéder de cette manière :
Si tan(y/2) > 0 alors |tan(y/2)| = tan(y/2) <=> kpi < y/2 < pi/2 + kpi => y/2 = arctan(exp(x²+c)) + kpi
Si tan(y/2) < 0 alors |tan(y/2)| = -tan(y/2) <=> pi/2 + kpi < y/2 < pi + kpi => y/2 = -arctan(exp(x²+c)) + kpi
C'est bien ça ?
Pour ma part, j'ai parlé de conditions initiales. Car des conditions du genre "Si tan(y/2) > 0" n'ont pas vraiment de sens à priori.
Cordialement.
Ah oui je vois, ben on me demande de trouver toutes les solutions (on ne m'a pas donné de conditions initiales). Donc les solutions constantes et non constantes.
Reprends ça en partant de conditions initiales quelconques. comme c'est un problème de Cauchy, les conditions x=x0 et y=y0 conviennent. Il y a des valeur de y0 qui sont interdites. Pour les autres, il faut regarder ce qui se passe.
NB : Une solution avec x0=0 et y0=0 n'a pas de lien avec une solution avec x0=0 et y0=3.
Cordialement.
Alors pour que arctan(tan(y/2)) = y/2 il faut que y/2 soit différent de pi/2 + kpi. Ceux sont les valeurs de y0 interdites
Donc il y a 3 catégories de y :
les y ou tan(y/2) >= 0 (1er et 3eme quadrant) c'est à dire y/2 compris entre 0 et pi/2 non inclus (+kpi)
les y ou tan(y/2) <= 0 (2eme et 4eme quadrant) c'est à dire y/2 compris entre pi/2 non inclus et pi (+kpi)
et les y = pi/2 + kpi qui ne conduisent à rien
C'est bien ça ?
Ah mais oui je viens de m'en rendre compte !
Si je reprend ce que j'ai dit :
Si tan(y/2) > 0 alors |tan(y/2)| = tan(y/2) <=> kpi < y/2 < pi/2 + kpi => y/2 = arctan(exp(x²+c)) + kpi
cela me donne : 2kpi <= y <= pi + 2kpi ce que je dois diviser en 2kpi <= y < pi/2 + 2kpi et pi/2 + 2kpi < y <= pi + 2kpi
car pi/2 + kpi est valeur interdite. C'est bien ça ?
