Compact

[mehdi_128]

Salut,

Soit E l'espace vectoriel R^n, soit <x,y> le produit scalaire canonique. Soit q un réel >0.



Comment montré que cet ensemble est fermé borné ?
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[geometrodynamics_of_QFT]

La norme q est-elle définie canoniquement aussi?
D'ailleurs je ne comprends pas pourquoi elle dépend de q, la norme de z...
Et ce ne serait pas '<=1' au lieu de '=1' ?
A moins que je soit complètement à l'Ouest...

[mehdi_128]

Non c'est pas une norme canonique c'est comme la norme p ... En remplaçant p par q je pense .

Avec :

C'est bien égal à 1 ...

[gg0]

Bonsoir.

L'énoncé complet serait préférable !!
Si c'est bien la norme-q sur R^n qui est en cause, alors ton ensemble (*) est l'image réciproque d'un fermé ({1}} par une fonction continue. donc est fermé. Pour borné, il l'est pas définition pour "borné au sens norme-q", et comme toutes les normes sont équivalents sur un ev de dimension finie, pour toute autre norme aussi.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

D'accord je vois qu'elle application considérez vous quand vous parlez d'image réciproque ?

[mehdi_128]

Question 16a page 6 : http://maths-france.fr/MathSpe/Probl..._M2_Enonce.pdf

Comment montrer que la valeur absolue du produit scalaire est continu sur la sphère unité ?

[invite9dc7b526]

il suffit de regarder la fonction y -> <x,y> puisque la fonction valeur absolue est continue sur R et que la composée de deux fonctions continues est continue. Ensuite il faut se souvenir de l'inégalité de Cauchy-Schwartz et de la bilinéarité du produit scalaire.

[mehdi_128]

il suffit de regarder la fonction y -> <x,y> puisque la fonction valeur absolue est continue sur R et que la composée de deux fonctions continues est continue. Ensuite il faut se souvenir de l'inégalité de Cauchy-Schwartz et de la bilinéarité du produit scalaire.

On a : et le produit scalaire est bilinéaire en effet.

Ca apporte quoi pour la continuité ?

[mehdi_128]

Comment montrer que :

Comment montrer que la fonction f est continue ?

Sinon j'ai vu ce théorème : Si E et F sont de dimensions finies alors toute application bilinéaire au départ de E×F est continue.

[invite9dc7b526]

Sinon j'ai vu ce théorème : Si E et F sont de dimensions finies alors toute application bilinéaire au départ de E×F est continue.

sauf qu'ici tu as x fixé et l'application qui t'intéresse c'est y -> <x,y> qui est une forme linéaire (c'est ça la bilinéarité) et donc tu peux t'appuyer sur le théorème qui dit qu'une forme linéaire sur un espace vectoriel de dimension finie est continue.

mais tu peux aussi démontrer directement que ton application est continue, ce n'est pas difficile et c'est instructif (enfin quand on accepte de faire quelque effort, ce dont je commence à douter...)