Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

[Linxra]

Bonjour,

Impossible d'avancer sur ce problème...
La limite en 0 de f(x) = cos(x)cos(1/x), si elle existe, me cause bien du tort
J'ai essayer d'abord avec deux sous suites tendant vers 0 et donnant des résultats différents de f(x) sans succès.
J'ai ensuite essayé de linéariser le cosinus en 1/2 (cos(x + 1/x) + cos(x - 1/x)) mais aucun DL simple n'apparait...
Encadrer la fonction par -1 et 1 semble aussi être inutile...

Enfin bref, si vous avez une méthode permettant trouver la limite (ou la non-limite) de manière élégante je suis preneur !

Merci d'avance,
Linxra
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[invite23cdddab]

Ta première idée était la bonne.

Pose et

Ou plus simplement,

[Linxra]

Justement, en posant ces suites, on obtient un problème avec le cos(x) qui devient cos(1/xn), avec xn qui tend vers 0... A moins que je me trompe ?

Linxra

[invite51d17075]

justement, que donnent les f(xn) et f(yn) proposés par Tryss ( qui sont des sous-suites ) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Linxra]

Alors,
et... en effet il n'y a plus de problème puisque le premier tend vers 1 et le deuxième prend les valeurs -1 et 1
Tandis que pour c'est 0 assuré... merci beaucoup

[invite51d17075]

tu n'es pas clair.
qui vers -1,1 et 0 ? ( les premiers, les seconds, etc ... )
mais c'est globalement l'idée à suivre.

[invite51d17075]

pour yn , on aurait pu prendre 1/(2k+1/2)pi, là on est sur que c'est 0

[invite51d17075]

j'ai écrit cela car il me semble que tu as confondu cos(pi/2 +2npi) ( qui vaut 0 ) et cos (pi+2npi) (qui vaut -1).
de fait tu peux résoudre cela d'au moins 3 manières.
-tu ne prend que la première suite xn proposée et tu montres que f(xn) ne converge pas.
-tu la compare avec une autre suite yn ( la bonne ) qui elle vaut tj 0
-tu utilises bêtement au départ cos(a)cos(b)=(1/2)(cos(a+b)+cos(a-b)) qui ne converge pas.

[Linxra]

Ah comme d'habitude j'ai du tout mélanger, merci d'avoir tout ranger ... J'ai utilisé la méthode avec les deux sous-suites ne convergeant pas vers la même limite. D'ailleurs, y-a-t-il un théorème à préciser pour utiliser cette méthode ? Ou simplement dire que les deux sous-suites ne convergent pas vers la même limite suffit ?

[invite51d17075]

je ne connais pas de nom spécial, mais effectivement cela suffit.
il suffit même de montrer qu'une seule suite ne converge pas.
par exemple en prenant f(xn) avec xn=1/npi dont chaque sous suite ( n pair et nimpair) convergent réciproquement vers +1 et -1

[Linxra]

En effet cela semble s'appeler caractérisation séquentielle des fonctions, f admet une limite en a équivaut à pour toute suite xn (appartenant à l'ensemble de départ de f) convergente vers a, (f(xn)) converge. On utilise simplement ici la contraposée. Merci de votre aide

[invite51d17075]

je ne connaissais pas l'expression.
ou bien c'est Alzheimer !!

[Linxra]

J'ai retrouvé ça dans un cours donc peut-être que c'était une expression de mon prof :P

[invite51d17075]

mais dans le même ordre d'idée, il y a un théorème fort utile qui dit que toute suite bornée admet au moins une sous suite convergente.
c'est souvent très utilisé.

[Linxra]

Mmmh je crois que c'est le théorème de Bolzano Wierstrass, un vrai capharnaüm à démontrer.

[invite51d17075]

Mmmh je crois que c'est le théorème de Bolzano Wierstrass, un vrai capharnaüm à démontrer.

oui, c'est ça, en fait je ne sais pas s'il est plus facile ou difficile à démontrer qu'à écrire sans écorner les noms........