Problème Dm de mathématiques

[IpopChuruch]

Bonjour à tous,

Premier message sur ce forum mais là j'ai vraiment besoin d'aide. On doit rendre un DM de mathématiques dont voici l'énoncé : Je mets en pièce jointe la courbe représentative de la droite.
Dans un repère orthonormal (O;i;j), la courbe représentative C d'une fonction f définie et dérivable sur R ainsi que son asymptote D et sa tangente T au point d'abscisse 0. On sait que le point J(0;1) est centre de symétrie de la courbe C et que l'asymptote D passe par les points K(-1;0) et J, et que la tangente T a pour équation réduite y = (1-e)x+1

Les questions que j'ai résolu :
1) Déterminer une équation de la droite D
Par utilisation du vecteur directeur on obtient D: x-y+1=0

2)Etablir, pour tout réel x, l'égalité f(x) +f(-x)=2
Ici j'ai utilisé la propriété de la symétrie centrale.

La question où je bloque :
3) On suppose que la fonction f est définie par une expression de la forme f(x)=Ax+B+(Cx+D)exp(-x²). En utilisant les données, déterminer les réels A,B,C,D. On justifiera soigneusement les résultats.

On sait que f(0)=1 donc B+D=1
De plus f(1)+f(-1)=2 On en déduit après des calculs que je vous épargne on obtient B=1 et D=0.
De plus, on a obtenu avec utilisation de la tangente et la dérivée A+C = 1-e. C'est ici que je bloque.

Merci de votre aide
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[gg0]

Bonsoir.

je n'ai pas l'impression que tu as utilisé l'une des hypothèses : le point J(0;1) est centre de symétrie de la courbe C.

Cordialement.

[IpopChuruch]

Bonsoir,

Je l'ai utilisé pour la question 2 qui se répercute dans la question 3. Toutefois, je ne l'ai pas utilisé dans la question 3 directement. Avez-vous une idée de son utilisation pour la question 3?

Cordialement

[gg0]

Je l'ai utilisé pour la question 2 qui se répercute dans la question 3.

Ah bon ? Où, si tu ne l'utilises pas ?

Avez-vous une idée de son utilisation pour la question 3?

Oui. sinon je ne t'en aurais pas parlé ! Traduis cette symétrie, tu en déduiras des conditions sur A, B, C et D.

Bon travail personnel !

[A voir en vidéo sur Futura]

[IpopChuruch]

Pour la question 2 :
On sait que J(0;1) est un centre de symétrie de la courbe d'après les données de l'énonce. Or d'après la formule du centre de symétrie: f(a+x) + f(a-x)= 2b
Dans le cas présent avec a=0 et b=1 f(x) + f(-x) = 2*1 = 2.

Pour la question 3, on a pas utilisé la courbe de l'asymptote et l'équation de la droite que l'on a obtenu à la question 1. Je pensais que cela avait sûrement un lien mais je ne vois pas lequel. En attendant votre réponse, étudier le centre de symétrie.

Merci de votre aide,
Cordialement.

[gg0]

Tu n'as pas vraiment utilisé la relation f(x) + f(-x) = 2. Pour tout x.

[IpopChuruch]

Je l'ai fait mais cela ne m'a pas permis de trouver la solution. Je détaille les calculs :
f(x) + f(-x) = Ax+B + (Cx+D)*exp(-x²)- Ax + B+ (-Cx+D)*exp(x²) = 2

Donc 2B + (Cx+D)*exp(-x²)+ (-Cx+D)*exp (x²)= 2

Or B=1 et D=0

Donc Cx (exp(-x²)- exp(x²))=0

Et là... je ne vois pas comment continuer

Merci de votre aide
Cordialement

[gg0]

Effectivement,

je n'avais pas vu que prendre x quelconque donne la même chose que prendre x=1.

Donc il ne reste plus qu'une hypothèse non utilisée : l'asymptote, qui te donne A et B (encore égal à 1).

Cordialement.

[IpopChuruch]

J'avoue n'avoir que des connaissances limitées sur l'asymptote. Je sais que :

En + l'infini, lim(f(x)-x-1)=0 (avec x +1 l'équation de l'asymptote D

Donc, Lim (Ax+B+(Cx+D)exp(-x²) -x-1) =0

Soit Lim (Ax +Cx exp(-x²) -x)=0

Donc Lim (Ax - x) =0

Lim ( x(A-1))= 0

Et là, une forme indéterminée car j'imagine que je ne peux pas conclure pour la suite... Bien que ce soit très tentant de dire que A=1

Merci encore

[IpopChuruch]

En fait je viens de comprendre. Ce n'est pas une forme indéterminée car A-1 ne tend pas vers 0 mais est toujours égal à 0. Le produit sera donc toujours de 0. On en déduit A=1 forcément

[gg0]

En effet,

si A n'est pas égal à 1, la limite sera +oo ou -oo suivant le signe de A. Donc A=1.
Si on n'avait pas déjà su que B=1, on pouvait le retrouver avec lim(Ax+B-(x-1))=0 : D'abord en trouvant A=1 (termes de plus haut degré), puis lim(B-1)=0.

Cordialement.

[IpopChuruch]

Merci beaucoup.

Y a-t-il quelque chose que je dois indiquer pour montrer que le sujet est fermé??

Encore merci