Une équation X^a-X^b=c

[invite3fb196b7]

Salut tout le monde,

Je suis complètement bloqué sur un problème, où j'arrive à une équation du type x^a - x^b = c
J'ai déjà déduit les hypothèses suivantes (au cas où ça aide à la résolution) :
- x est l'inconnue, un réel entre 0 et 1.
- a et b sont deux réels positifs b > a.
- c est un réel entre 0 et 1
- Je sais déjà que, si il y a une solution, il peut y en avoir deux.

Je suis complètement coincé. Est-ce que quelqu'un voit une solution ? Ou au moins me guider sur une méthode de solution ?

Merci par avance

Adrien BELLAICHE
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[Resartus]

Bonjour,

si b et a sont dans un rapport 2, 3, 4, 3/2 ou 4/3, on peut se ramener à une équation polynomiale de degré 2,3 ou 4 en x^a qu'on sait résoudre analytiquement

Mais sinon, il n'y aura pas d'autre solution qu'une résolution numérique.

(pour donner l'exemple le plus simple, b=5a donnera une équation du 5ème degré qu'on ne sait pas résoudre analytiquement, à moins que c n'ait une valeur très particulière.

[invite3fb196b7]

a et b ont ces valeurs :
- 0 ; 1/6 (celui là est facile, je m'en sortirai)
- 1/6 ; 2/6 (rapport 2)
- 2/6 ; 3/6 (rapport 3/2)
- 3/6 ; 4/6 (rapport 4/3)
- 4/6 ; 5/6 (meh)
- 5/6 ; 1 (meh)
- 1 ; 4/3 (rapport 4/3)
- 4/3 ; 5/3 (meh)
- 5/3 ; 2 (meh)
- 2 ; 3 (rapport 3/2)
- 3 ; 4 (rapport 4/3)
- 4 ; 5 (meh)

Donc d'après ce que tu me dis, j'en ai 6/11 que je peux résoudre ?
Et pour ramener, je pose (par exemple a=1/6 et b=2/6) Y = X^1/6 et je résouds ça ?

[Resartus]

Bonjour,
Mathématiquement, on sait résoudre les équations jusqu'au degré 4.
Par contre, si les formules pour résoudre un polynome du second degré sont faciles,
celles pour la résolution d'une équation du troisième degré le sont nettement moins (voir ceci par exemple) :
https://www.lucaswillems.com/fr/arti...e?cache=update

, et celles du 4ème encore moins.

Il me semblerait bien plus efficace, dans tous les cas, de privilégier une résolution numérique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3fb196b7]

Pour resituer la situation, je suis dans une situation où je dois déterminer une constante de type constante de dégradation nucléaire, à coups d'intégrales partielles.
La dégradation est de type f(t)=N₀*e^-t/tau
J'ai accès aux intégrales partielles entre les points suivants (en heures) : 0, 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6, 1, 4/3, 5/3, 2, 3, 4, 5, +oo

Et comme les intégrales partielles sont des données réelles, j'essaie de calculer tau pour chaque intégrale, d'où l'équation en titre, X correspondand à e^-1/tau.

Et ensuite, je fais une moyenne pour trouver le meilleur tau.

Merci pour les infos.

[gg0]

Bonjour.

dans cette situation, il est sans doute plus efficace de modéliser la fonction "intégrale partielle", puis de chercher un modèle approché par une méthode genre "moindres carrés". Comme tu n'as pas décrit le procédé, difficile d'aller plus loin.

Cordialement.

[SULREN]

Bonjour,

Merci de me dire si j’ai bien compris ou si j'ai tout faux :
On a une fonction de décroissance nucléaire:
f(t)=No*e^-t/tau qu’on écrit f(t)=No*x^t en posant x= e^-1/tau

On cherche tau et pour cela on dispose de :
la valeur C₁ de l’intégrale de f(t) dans la tranche de temps t1 (0,1/6)
la valeur C₂ de l’intégrale de f(t) dans la tranche de temps t2 (1/6,2/6)
la valeur C₃ de l’intégrale de f(t) dans la tranche de temps t3 (2/6,3/6)
…………….

1ere METHODE :
LFenix dit qu'il faut résoudre les équations: (la méthode numérique est conseillée)
x⁰ - x ^1/6 = C₁/No (il manque peut-être un ln(x) ici)
x ^1/6 – x ^2/6 = C₂/No
x ^2/6- x ^3/6 = C₃/No
……..

Et on en tire les solutions x ₁, x ₂ , ..... x _n qui donnent des valeurs de tau correspondantes, puis on calcule la moyenne de ces valeurs de tau, qu’on prend pour le tau cherché.

2eme METHODE (celle de ggo)
On considère la primitive de f(t) = No*x^t qui est P(t) = No/ln(x)*x^t
Et par les moindres carrés on cherche la meilleure approximation de P(t) qui passe par les points
(t1=0, C₁)
(t2=1/6, C₁+C₂)
(t3=2/6, C₁+C ₂+C₃)
……

On en déduit x et donc tau.

Merci

[gg0]

Rappel :

La deuxième méthode se simplifie si on prend comme variables t et ln(P(t)); car ln(P(t))=ln(x) t + ln(No/ln(x))
On est ramené à du classique ajustement linéaire.

NB : cette méthode a l'avantage de gommer les effets dus à des ordres de grandeur très différents si tau est petit.