Demonstration avec des sommes

[inviteb0eb0178]

Bonjour !
Je vous remercie d'abord de prendre le temps de lire. Je bloque sur deux questions de mon DM.
Je n'ai pas réussi à faire le langage latex, je ne suis pas sur un ordinateur.. J'espère que vous arriverez à lire.

Intitulé :
x est un réel
x dans ]-1 ; 1[
n et r deux entiers naturels.
On pose : s(n,r) = somme pour k allant de 0 à n de [ (r parmi (r+k) ) x^k ]

Question : Il faut démontrer que pour tout entier naturel n,
(1-x) s(n,r) = s(n, r-1 ) - (r parmi (r+n)) x^(n+1)

-> Il n'est pas précisé si il faut faire une récurrence, mais je ne pense pas (cela ne donne rien).
J'ai essayé de partir du membre de gauche, puis de celui de droite sans succès. J'ai pensé à la formule du Pion, et au binôme de Newton, mais je ne parviens pas à avoir le résultat demandé.

Question : à l'aide d'une récurrence, démontrer pour tout entier naturel r la valeur de limite quand n tend vers +infini de s(n,r)
-> J'ai réussi l'initialisation pour 0, je bloque sur l'hérédité.

Merci pour votre aide, Lucie
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[gg0]

Bonjour.

A priori, il s'agit simplement de manipulations de sommes.
(1-x) s(n,r) = s(n,r)-x s(n,r)
Puis on arrange le polynôme en x et on voit.
par exemple pour n=2 et r=3,
S(2,3)=(3 parmi 3)x^0+(3 parmi 4)x+ (3 parmi 5) x² =1+4x+10 x²
(1-x)S(2,3) = 1 + 4x + 10 x² - x - 4 x² - 10 x^3 = 1 +3 x + 6 x² - 10 x^3
On remarque que les coefficients 1, 3 et 6 sont des coefficients de la ligne 3 du triangle de Pascal. Comme ils ont été obtenus par soustraction de coefficients consécutifs de la ligne 4, c'est normal.

Je te laisse généraliser. Revois de près les propriétés des coefficients binomiaux, et l'écriture en somme. Si tu bloques à un moment, présente ici (au besoin photo d'un texte à la main bien écrit) ce que tu as fait.

Cordialement.

[JB2017]

Bonjour
Comme alternative ou en complément de la réponse de @gg0
il est possible de remarquer que dans l'égalité à démontrer ce sont des polynômes (en x) de degré n+1 qui interviennent.
Donc il suffit de vérifier que les dérivées successives d'ordre j=0,1,2... en x=0 sont égales.
Dériver j fois (1-x) S(n,r) est simple (bien entendu utiliser la règle de Leibniz)

D'autre part utîliser le latex à l'avenir sera plus convivial. Ce n'est pas si compliqué
Comme ici si j'écris \sum_{k=0}^n C_n^ k

cela donne


\ sum pour somme _ pour les indices (à mettre entre accolades en général)
^ pour exposant (à mettre entre accolades en général)

[inviteb0eb0178]

Je vous remercie ! Je vais essayer avec ces renseignements. Et merci aussi pour l'explication du latex !
Lucie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb0eb0178]

J'ai réussi en utilisant la formule de Pascal !
Pour la limite de s(n,r) quand n tend vers +infini , pour tout entier naturel r :
lim de s(n,0) = 1/(1-x)
lim de s(n,1) = 1/((1-x)^2)

Je conjecture donc :
lim s(n,r) = 1/((1-x)^(r+1))

J'ai essayé de montrer que lim (1-x)s(n,r) = 1/((1-x)^r) mais je bloque sur l'hérédité.
Auriez vous une indication ?
Cordialement, Lucie.

[JB2017]

Rebonjour
En utilisant le relation demandée
le dernier terme tend vers 0, en effet
C_{n+r}^r tend vers 0 quand n tend vers l'infini, idem pour x^(n+1).
La relation de récurrence est alors immédiate.

[inviteb0eb0178]

Malgrès ces explications, je n'y arrive toujours pas...

[inviteb0eb0178]

J'ai compris mon erreur ! Merci pour les explications.
Lucie

[inviteb0eb0178]

Mais, Ce n'est pas plutôt (r parmi (r+n) x^(n+1) le dernier terme ?
Donc r parmi r+n tend vers +infini et x^(n+1) vers 0, donc il y a formé indéterminée ?

[JB2017]

Bonjour
Oui bien sûr:


et

En les multipliant et regardant ce qu'il y a ds l'exponentielle :
cela tend vers .....le reste est facile....

[inviteb0eb0178]

Tout est clair maintenant ! Merci !