Démonstration avec sommes

[invitee556df5c]

Bonsoir,
Je vous prie de bien vouloir m'aider pour répondre à cette question : Montrer que pour toute famille de réels Xi avec i allant de 1 à n : " la somme mise au carré de Xi avec i allant de 1 à n est égale à : la somme, avec i allant de 1 à n, de (X²i + 2) + 2 * la somme de XiYj avec 1 inférieur ou égal à i , i strictement inférieur à j, j inférieur ou égal à n »
Je vous prie de bien vouloir m’aider
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[invite332de63a]

Bonjour,

si je comprend bien montrer que :



des erreurs non?

pas plutôt celle ci ?


Si oui cela parait évident
il suffit de développer le 1er terme.
RoBeRTo

[invitee556df5c]

Bonjour,

si je comprend bien montrer que :



des erreurs non?

pas plutôt celle ci ?


Si oui cela parait évident
il suffit de développer le 1er terme.
RoBeRTo

c bien la deuxième, mais meme en developpant jne vois pas comment, merci de m'expliquer svp

[invite1e1a1a86]

on peut aussi le faire par récurrence sur n

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite332de63a]

Alors tu as :

on somme sur tous les couples possible de i et j dans l[1,n]l²
donc égal à :

En fait (i,j) est "orienté" c'est à dire alors que {i,j}={j,i}, donc comme la multiplication est commutative, on a deux fois ces termes, par le fait que

si l'on prend alors f(i,j)=f(j,i) donc dans notre somme plus haut on a chaque termes en double.

ce qui nous donne bien

RoBeRTo

[invitee556df5c]

C gentil à toi Roberto mais je n'arrive pas à comprendre.
La première ligne cava mais après meme en lisant : "on somme sur tous les couples possible de i et j dans l[1,n]l²" jne comprends pas comment tu obtiens : somme avec i allant de 1 à n de X²i
J'espère ne pas te déranger en te demandant de m'expliquer, en effet ça ne fait que un jour et demi quon a repris et je n'avais jamais vu ça avant.
Merci

[invitebe08d051]

Salut,

Bon pour faire simple:

.

Si on développe ce produit, chaque sera multiplié par lui même une seul fois. Tu peux essayer de faire des calculs pour ou .

Après, on isole ces , on garde la somme des .

J'espère que j'ai été clair.

[invited5b2473a]

Je suis d'accord avec mimo13 : calcule des cas particuliers (n = 3 ou 4) et la généralisation d'en déduira aussitôt!