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intégrale et équa diff

  1. #1
    sleinininono

    intégrale et équa diff

    Bonjour !
    je me demande comment faire avec une fonction de la forme
    pour trouver u(x) telle que



    actuellement j'étais sur une intégrale (plutôt simple je l'admet) qui peut se prêter à cet exercice :



    quelqu'un aurait-il une idée ? pour l'instant je trouve un résultat faux... je vous montre mes calculs :




    vous remerciant vivement

    slein

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Post Re : intégrale et équa diff

    Bonjour.

    Trouver u tel que revient à trouver u tel que u'v-v'u=f(x). Dans ton cas, avec v(x)=1+x² et f(x)=1-x², il faut résoudre (1+x²)u'-2x u =1-x²
    On trouve facilement la solution générale de l'équation sans second membre (c'est ce que tu as fait), reste à trouver une solution particulière à ajouter. Elle est assez simple à trouver.

    Cordialement.

  4. #3
    ansset

    Re : intégrale et équa diff

    je ne comprend pas ta "méthode" et les passages par =0 !!!
    une primitive de ta fonction est simplement
    F(x)=x/(1¨+x^2) + cte.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  5. #4
    sleinininono

    Re : intégrale et équa diff

    alors cette méthode me semble permettre d'éviter de passer par ln et donc d'avoir la dite valeur absolu. On a une équivalence en intégrant (en remplaçant une quantité par son intégrale sans constante dérivée, deuxième équivalence), puis comme une dérivé vaut zéro, la fonction est une constante. Dites-moi si quelque chose vous semble hasardeux, je fais souvent des erreurs.



    Pour la solution particulière, en employant la méthode de la variation de la constante notée K(x) on trouve :

    K'(x) * ( 1+x^2)^2 = 0

    et donc K(x) = K


    mais je ne crois pas que cela soit juste, en effet u est sensée valoir x...

    en attente de vos réponses.

    merci

  6. #5
    gg0

    Re : intégrale et équa diff

    C'est faux, mais comme tu ne donnes pas tes calculs ...

    Il y a une solution évidente polynôme, dont le degré est aussi facile à voir.

    " u est sensée valoir x..." pas nécessairement, ta primitive est définie à une constante près, et c'est bien ce qu'on trouve en résolvant l'équation différentielle correctement.

  7. #6
    sleinininono

    Re : intégrale et équa diff

    d'accord, je vous prie d’excuser mes étourderies. je vais refaire les calculs :

    on note u = K(x) * (1+x^2)

    u' = K'(x) * (1+x^2) + K(x) * (2x).

    on injecte :

    u'(1+x²) - 2xu = 1-x²

    [K'(x) * (1+x^2) + K(x) * (2x)] * (1+x²) -2x * K(x) * (1+x^2) = 1-x^2

    en bidouillant on obtient :

    K'(x) = 1 - x^2) / ( 1+x^2)^2

    là, êtes vous d'accord?

  8. #7
    gg0

    Re : intégrale et équa diff

    Oui,

    et tu vois que tu es ramené à l'intégrale initiale !

    Autrement dit, si tu ne trouves pas une solution évidente de l'équation différentielle, tu tournes en rond ! (Bernard Blier, fin du passage)

    Cordialement.

  9. #8
    sleinininono

    Re : intégrale et équa diff

    je suis désolé mais je ne vois pas en quoi trouver que K(x) est l'intégrale initiale peut nous aider. Pourrais je encore demander des éclaircissement complémentaires?

    sleinininono

  10. #9
    gg0

    Re : intégrale et équa diff

    Ben ... justement ! Ça ne nous aide pas !

    Tu calcules une intégrale en résolvant une équation différentielle qui se résout en calculant l'intégrale avec la résolution de l'équation différentielle qui demande de calculer l'intégrale ....

  11. #10
    ansset

    Re : intégrale et équa diff

    le seul truc, c'est qu'on retombe sur les mêmes pates ( c'est déjà ça )
    mais c'est en boucle.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #11
    sleinininono

    Re : intégrale et équa diff

    donc comment peut-on trouver u ...?

  13. #12
    gg0

    Re : intégrale et équa diff

    Dans le cas général, il n'y a pas de raison de le trouver : Il existe des primitives qui " ne se calculent pas" (*). Dans ce cas particulier simple, je t'ai donné la méthode (messages #2 et #5).
    Pas de miracle en intégration.

    Cordialement.

    (*) A priori, c'est plutôt le cas général, celles qu'on sait calculer sont particulières.

  14. #13
    ansset

    Re : intégrale et équa diff

    ceci dit, cette fct s'intègre toute seule, par exemple en posant x=tg(t)
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #14
    ansset

    Re : intégrale et équa diff

    mais je suppose qu'on ne parle pas de la même chose avec gg0.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  16. #15
    sleinininono

    Re : intégrale et équa diff

    donc pour être bien sûr de comprendre, cette intégrale là pour la résoudre, je ne peux pas utiliser le passage par équa diff., la méthode en posant x = tan fonctionne par contre.

    Et par ailleurs, si en règle générale je suis sûr une des intégrales du type définit dans le premier message, alors je peux faire la méthode des équas diff.
    Je trouve une S.H. et si la S.P n'est pas l'intégrale du début j'ai trouvé u,

    c'est bien ça?

    merci pour votre temps et votre patience.

  17. #16
    ansset

    Re : intégrale et équa diff

    difficile de répondre dans l'absolu.
    l'idée de passer par une equa diff pour résoudre une intégrale peut être bonne.
    mais rien ne dit à priori que ce sera forcement plus facile ou moins facile.
    ici, en l'occurrence , ton "u" final est plus complexe que u(x)=x.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #17
    ansset

    Re : intégrale et équa diff

    ici , on est d'accord que la primitive est
    F(x)=x/(1+x²)+C ( C cte )
    donc si tu cherchais F(x)=u(x)/(1+x²), alors le u à trouver devient :
    u(x)=x+C(1+x²)
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #18
    ansset

    Re : intégrale et équa diff

    ps :
    tout dépend aussi de la manière dont tu poses ton ED.
    si au lieu de chosir (u/v)' tu avais choisi ((w+x)/v)' tu aurais eu directement une ED en w sans second membre !
    Dernière modification par ansset ; 10/09/2017 à 11h59.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  20. #19
    sleinininono

    Re : intégrale et équa diff

    d'accord... en fait j'ai juste l'impression que cela revient toujours à trouver quelque chose d'évident, car dans l'e.h. de toute facon on va trouver u = v...

    là j'essaye cette méthode sur (3+lnx) / (4 + ln x )^2 et là aussi ça fonctionne pas...

  21. #20
    gg0

    Re : intégrale et équa diff

    Tu lis les réponses qu'on te fait ? car pour l'instant, tu donnes l'impression de penser seul sans tenir compte de ce qui t'est dit !!

    "cette intégrale là pour la résoudre, je ne peux pas utiliser le passage par équa dif"
    je te dis le contraire depuis le début ! Mais peut-être ne sais-tu pas résoudre les équadiffs autrement que par la méthode que tu as employée. Ce qui serait absurde, tant des méthodes simples sont généralement données avant de voir cette méthode qui bute le p^lus souvent sur des intégrales qu'on ne sait pas calculer. Revois un cours élémentaire sur les équations différentielles linéaires.

    Ce que tu racontes à partir de "Et par ailleurs, ..." n'a pas vraiment de sens pour moi.

  22. #21
    sleinininono

    Re : intégrale et équa diff

    bonjour gg0.

    Effectivement, je n'ai pas de méthodes pour les équas diff. A part les solutions évidentes, je ne sais pas faire. Une solution evidente revient pour moi à le faire au feeling et à ce moment là, autant faire la solution evidente directement sur l'intégrale puisque le but final est de résoudre l'intégrale.

    Ainsi, je ne vois toujours pas comment résoudre par un calcul différentiel l'intégrale cité au tout début...

    la partie après "et par ailleurs" n'a pas lieu d'être car j'essayais d'élaborer une méthode générale pour résoudre une intégrale par équation différentielle mais, cette méthode, ne fonctionne pas sur une autre intégrale (celle que j'ai donné message 19)...

    d'où mon désarroi car en dépit de mes tentatives de compréhensions, je n'arrive toujours pas à trouver une méthode pour résoudre des cas particuliers décrits dans mon premier message.

  23. #22
    ansset

    Re : intégrale et équa diff

    @sleininono:
    en plus depuis le début, tu l'avais ta solution particulière car c'est justement u(x)=x
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  24. #23
    gg0

    Re : intégrale et équa diff

    C'est bien gentil d'essayer "d'élaborer une méthode générale pour résoudre une intégrale par équation différentielle", mais encore faudrait-il avoir l'humilité de reconnaître que la méthode proposée ne donne rien. C'est le sens de ton message : " autant faire la solution evidente directement sur l'intégrale puisque le but final est de résoudre l'intégrale.".
    Inutile d'épiloguer, tu as eu une idée, elle ne marche pas, tu laisses tomber.

    NB : Vouloir élaborer une méthode nouvelle et demander aux autre de le faire est le niveau zéro de l'inventeur.

  25. #24
    sleinininono

    Re : intégrale et équa diff

    ah non excusez moi j'ai du mal m'exprimer. Je voulais savoir si une telle méthode existe... donc on ne peut pas résoudre par des équations diff. une intégrale ?
    je ne cherche pas à polémiquer juste avoir une certitude... afin de comprendre et de pouvoir réutiliser les méthodes sures.

  26. #25
    gg0

    Re : intégrale et équa diff

    Relis posément toute la discussion.

  27. #26
    sleinininono

    Re : intégrale et équa diff

    en relisant je trouve des résultats parfois contradictoires.
    Je suis désolé mais en dépit de tous mes efforts je n'arrive pas à conclure...

    vous dites et répéter que la méthode fonctionne. Pourtant on voit qu'on tourne aussi en rond et vous le soulignez aussi... je ne dois pas comprendre ce que vous dites réellement et je suis désolé de mon incapacité à saisir l'idée

  28. #27
    ansset

    Re : intégrale et équa diff

    Citation Envoyé par sleinininono Voir le message
    en relisant je trouve des résultats parfois contradictoires.
    bonjour,
    il semble que tu cherche une "méthode" spécifique ("magique" ? ) qui serait générale pour résoudre une intégrale de type :
    f(x)/(v(x))² en passant par la résolution d'une équa diff du type (u/v)' =.......

    d'où les remarque suivantes :
    -ce n'est pas forcement LE modèle qui va convenir le mieux ( revois ton exemple avec les log )
    -tu semble ignorer globalement les equa diff en général.
    -ce n'est pas forcement impossible mais cela peut être plus compliqué qu'une autre approche. ( ou non adapté )
    -l'intégrale peut aussi être recherchée directement.
    -......

    c'est peut être ces points mis ensemble qui donne l'impression d'un dialogue difficile.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  29. #28
    gg0

    Re : intégrale et équa diff

    Il n'y a rien de contradictoire dans nos conseil. C'est par contre contradictoire avec ton espoir d'avoir inventé une méthode "formidable". Si tu trouves des contradictions, copie les passages qui te semblent contradictoires on t'expliquera.

  30. #29
    sleinininono

    Re : intégrale et équa diff

    d'accord ça marche je comprends maintenant ! encore merci pour tout gg0 et ansset et bonne continuation!

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