exercice demonstration lim sommes des 1/k^2 et 1/k^4

[invite270c37bc]

bonsoir !
je vous contacte car j'ai trouvé un exercice vraiment difficile pour moi...
comme il est un peu long et pas évident à décrire, je vous joins deux photos (c'est autorisé ? j'ai regardé et j'ai juste lu que je n'avais pas le droit d'utiliser d'hébergeur externe...)

WIN_20170914_21_27_26_Pro (2).jpg
WIN_20170914_21_27_55_Pro (2).jpg

j'ai réussi la première question qui correspond à démontrer l'égalité.

La deuxième question par contre me fait du tort... il faut trouver les racines d'un polynôme. Je vois le lien entre les deux questions mais c'est avec peine que j'arrive à dégager une réponse cohérente... j'ai simplement l'idée que la somme de la question 3 est la somme des xk solutions de l'équation de la question 2.

Pour la troisième question non plus, en dépit de l'idée que c'est la somme des racines du polynôme, je ne vois pas de résolution.

Pour la quatrième j'ai enfin réussi à faire quelque chose ! et l'inégalité est démontrée.

Enfin pour la cinquième, j'attends de voir pour les questions 2/3.



J'ai regardé la solution mais malheureusement elle est pas assez détaillée...



en attente de votre aide pour avancer sur cet exercice d'analyse fort troublant,

slein
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[gg0]

Bonjour.

On voit, en comparant les deux premières questions, que les solutions de l'équation sont des x=cotg² t où t est une solution de
.
On résout cette équation (attention à bien le faire), on obtient des valeurs t_i, et les solutions sont les x_i=cotg²(t_i)

Pour la question 3, revois les relations entre les racines d'un polynôme; une fois faite la question 2 c'est une question de cours.

Cordialement.

[invite270c37bc]

merci gg0 pour la question 2 que j'ai réussi à faire. On trouve bien ti = kpi/ (2n + 1).

Je ne vois pas de quelle relation vous voulez parler... cela ne me dit absolument rien.

cordialement,
sleinininono

[invite51d17075]

... j'ai simplement l'idée que la somme de la question 3 est la somme des xk solutions de l'équation de la question 2.

oui
il me semble ( pour avoir lu en diagonale ) que c'est l'esprit de la remarque de gg0
si P(x) est un polynôme de degré n avec n racines , alors le second terme( en x ) vaut a0((-1)^(n-1))*(somme des racines )....(ou n+1 ; c'est la même )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

pardon pas a0, mais le coeff principal.

[gg0]

Si Sleinininono n'a pas vu en cours les relations entre les racines d'un polynôme et ses coefficients, l'exercice est difficile à faire, ouisque c'est justement une application de cette partie d'un cours classique. Voir par exemple Wikipédia.

[invite270c37bc]

oula ça remonte... vous parlez peut être des sigmas?

-> oui je viens de cliquer sur le lien wikipedia effectivement vous parlez des relations de symétrie au sein d'un polynôme.


Très bien très bien je vais revoir ça... le corrigé utilise effectivement bien cette formule. Celle ci je n'en avais aucun souvenir, des relations entre sigmas 1, 2 et 3 en elles-mêmes oui mais pas de la généralisation.


merci, bonne continuation