Convergence d'une suite

[Lucieeeee]

Bonjour, je bloque sur une question d'un exercice.
Intitulé : on veut déterminer les fonctions f de R dans R de classe C1 sur R qui satisfont la relation :
f°f(x)=(X/2)+3

La question sur laquelle je bloque :
Démontrer que la suite U est convergente et préciser sa limite :
u0=X
Pour tout n naturel, un+1 = (un/2) + 3

On sait avec les questions précédentes que :
f((x/2) + 3) = (f(x)/2) + 3
Et f'(x) = f'( (x/2) + 3)

J'ai essayé de trouver un intervalle de stabilité pour U (en posant f --> (x/2) +3) pour avoir un encadrement de U, puis d'etudier la monotonie avec une récurence pour enfin utiliser le théorème de la limite monotone. Le problème est que je ne vois pas comment faire ça on a pas le signe ni la valeur de u0..

Merci à ceux qui pourront m'expliquer.
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[gg0]

Bonjour.

Ta suite est une suite arithmético-géométrique, il est facile de se ramener à une suite géométrique.
* méthode 1 (classique autrefois en ES) : On pose U_n=V_n+a et on choisit la valeur de a qui rend la suite V_n géométrique; donc V_n=U_n-a; V_n+1=U_n+1-a=1/2 U_n+3-a=1/2(V_n+a)+3-a=1/2 V_n+3-a/2; V_n sera géométrique si 3-a/2=0; etc.
* méthode 2 : Si la suite a une limite L, en passant à la limite dans l'égalité u_n+1 = (u_n/2) + 3 on obtient L=L/2 +3, ce qui donne L=6 et on va s'intéresser à la suite V_n=U_n-6; ....

Cordialement.

[Lucieeeee]

Donc, si la suite converge,sa limite éventuelle sera 6. Mais je ne vois pas comment le projet avec Vn ?

[Lucieeeee]

**comment le prouver

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lucieeeee]

Avec le point fixe l=6, j'ai étudié la suite Vn = un - 6
Je trouve : Vn = (x-6)(1/2)^n
Donc Un = (x-6)(1/2)^n + 6
Donc lim(+infini) Un = 6

Donc Un converge vers 6 ? Est-ce correct ?

[gg0]

Si tu as appliqué des règles de maths, tu n'as pas besoin qu'on te dise que c'est juste. Si tu n'es pas sure que tu as appliqué des règles, tu étudies chaque étape, et au besoin tu justifie (par des règles) ce qui était douteux.
Comment crois-tu que je peux savoir si c'est juste ?

Cordialement.

[Lucieeeee]

C'est vrai..
J'ai tout vérifié, je pense que c'est juste.
Merci !