transformée de Fourier

[titi07]

Bonsoir,
j'ai une question à vous poser, alors voila je dois montrer que si on a une fonction , qui a les propriétés suivantes:
.
Je prends sa transformée de Fourier inverse et je veux montrer que .
Voici un calcul formel:

Mais d’après mes connaissances la transformée de fourier inverse de est la distribution de Dirac, alors que je travaillais au départ avec des fonctions classiques?
Merci pour vos indications.
Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

Tout ton message est formel : tu n'as même pas dit quel est l'ensemble de départ de (d'ailleurs, pourquoi une lettre si compliquée ?).

Mais il est évident que tu tu fais un calcul formel, tu auras un résultat formel. Puisque tu ne t'es pas occupé dans ton calcul de savoir à quoi s'appliquent les calculs, c'est normal qu'à la fin tu obtiennes des choses qui ne correspondent pas !

Cordialement.

NB : Je ne connais pas assez les différents usages sur la TF pour savoir si ton "calcul" a un sens ou pas.

[titi07]

Bonjour,
Merci pour votre réponse.
Oui, j'ai oublié de mentionné que la fonction qu'on va plutôt nommer par est une fonction définie sur .
Je pense que je peux lui appliquer la TF vu que c'est une fonction continue à support compact, et je dois montrer que .

Cordialement.

[0577]

Bonjour,

à un niveau formel, le calcul est correct et donne le résultat attendu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[titi07]

Bonjour,
Oui c'est vrai, si on termine le calcul formlement, on obtient le résultat souhaité; mais je voudrai avoir une preuve rigoureuse !
Merci pour réponse.
Cordialement.

[gg0]

Tu as le choix : Soit passer par les distributions (et écrire de façon très différente ton calcul), soit rester dans du calcul sur des fonctions au moins L1. En tout cas, pas en mélangeant les deux comme le fait ton "calcul formel".
Ce calcul peut éventuellement t'inspirer des preuves puisque la distribution de Dirac est une limite de distributions régulières, donc formellement de fonctions.

Cordialement.

NB : Pourquoi avoir écrit B(0;2) plutôt que [-2;2] ? J'aurais compris que f est définie sur R.

[titi07]

Merci pour votre réponse.
Oui vous avez raison, on ne peut pas mélanger les deux et justement je n'ai pas su terminer les calculs avec des fonctions, comment pourrai-je démontrer que cette intégrale est égale à 1. j'aurai besoin d'une petite indication, s'il vous plait.
Cordialement.

NB: Oui vous avez raison, écrire un intervalle aurait facilité la compréhension, désolée!

[azizovsky]

D'après la définition de la transformée inverse : on multiplie par et on intègre :



avec : : tranformée de Fourier.

[invite6710ed20]

Bonjour
Si tu veux passer par les distributions, le résultat est immédiat. La démonstration rigoureuse est donc une conséquence de la théorie générale
Il suffit donc de faire comme dit @GG0.
d'après les hypothèses. De plus S(R) étant stable par la transformée de Fourier on a aussi
(j'utilise F pour fourier)

Alors

[azizovsky]

Bonjour, à la physicienne...:

on multiplie par et on intègre :



avec : : TF

[azizovsky]

Meilleure notation :

[invite6710ed20]

Bonjour
Si tu veux passer par les distributions, le résultat est immédiat. La démonstration rigoureuse est donc une conséquence de la théorie générale
Il suffit donc de faire comme dit @GG0.
d'après les hypothèses. De plus S(R) étant stable par la transformée de Fourier on a aussi
(j'utilise F pour fourier)

Alors

[invite6710ed20]

Rebonjour
J'avais une erreur (avec F et F^{-1}) que j'ai voulu corriger mais les deux messages sont partis. C'est le premier qui est bon.

D'autre part @azizovsky.
"A la physicienne" veut dire en fait que c'est un calcul formel. Pour être précis, ce que tu donnes comme solution c'est une écriture analogue à celle de @titi07.
Cette aussi quelque part la même chose que je j'ai donnée (la solution avec les crochets de dualité: < , >_{S',S)).
Mais la différence importante c'est que chaque égalité que j'ai écrite est justifiée par la théorie des distributions.
Donc ce que demande maintenant @titi07, suite aux remarque de @gg c'est une justification rigoureuse c'est ce que j'ai fait.

Il y a quand derrière tout cela des hypothèses sur f qui permettent d'écrire tout cela, on ne peut pas se permettre de l'oublier.

[invite6710ed20]

Rebonjour encore .
Bien entendu on n'est pas obligé de passer par les distributions.
Les hypothèses impliquent que

et pour tout x dans R.

Donc cela nous permet d'écrire :


en particulier pour x=0 c'est le résultat.

[azizovsky]

"A la physicienne", je voulais dire : omettre les conditions mathématiques du 'bricolage=opérations' que j'ai fait sur les fonctions, la fonction n'appartient pas forcément à , si c'est le cas, on ne peut pas faire l'inversion...., théorème de Fubini,...., enfin distribution :S.Sobolev, Schwartz ...

[invite6710ed20]

Oui je comprends mais je voulais insister sur le fait qu'il faut justifier les écritures

[titi07]

Rebonjour encore .
Bien entendu on n'est pas obligé de passer par les distributions.
Les hypothèses impliquent que

et pour tout x dans R.

Donc cela nous permet d'écrire :


en particulier pour x=0 c'est le résultat.

Bonjour,
Je vous remercie beaucoup pour votre réponse, mais je pense que je devrai inverser et mettre plutôt :
donc

et déduire pour
parce que je chercher à montrer que


Merci encore une fois pour votre aide.
Cordialement.

[titi07]

"A la physicienne", je voulais dire : omettre les conditions mathématiques du 'bricolage=opérations' que j'ai fait sur les fonctions, la fonction n'appartient pas forcément à , si c'est le cas, on ne peut pas faire l'inversion...., théorème de Fubini,...., enfin distribution :S.Sobolev, Schwartz ...

Bonjour,
Justement c'est le fait que le théorème de Fubini ne s'applique pas qu'on avait un problème dans la suite de vos calculs, la réponse que vous m'avez donnée ramène
au résultat mais formellement!
Merci pour votre aide.
Cordialement