montrer que si A ∩ B=A U B alors A=B

[invited4d04970]

bonjour
j'ai commencé un exercise et j'étais bloquer ici

montrer que si A ∩ B=A U B alors A=B

logiquement c'est vrai mais j'ai pas trouver une bon démonstration pour l'écrire >_<
un peu d'aide svp
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[Resartus]

Bonjour,
Essayez un raisonnement par l'absurde : supposer qu'il existe un élément de B qui n'appartient pas à A....

[Seirios]

Le résultat se démontre également très bien par double inclusion, c'est-à-dire montrer que et .

[invite23cdddab]

Pour exwpliciter un peu l'idée de Seirios :

Tu prends un élément quelconque x de A, et en te servant des hypothèses, tu montres alors à l'aide de l'hypothèse qu'il appartient à B (indice : si il est dans A, il est dans A U B )

Tu aura ainsi montré l'inclusion A inclus dans B.

L'autre inclusion est similaire

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Mais montrer que et implique A=B est presque aussi lourd que la question d'origine, non?

[invite23cdddab]

C'est la définition même de l'égalité entre deux ensembles dans la théorie des ensembles usuelle (ZF).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome...ionnalit%C3%A9

Sinon, comment défini tu formellement que A = B quand A et B sont des ensembles?

[Amanuensis]

OK

(Mais on pourrait définir l'égalité directement sans introduire le concept (et le signe) d'inclusion, en utilisant seulement l'appartenance, non?)

[PlaneteF]

Bonjour,

En utilisant la notion de fonction caractéristique d'un ensemble la démonstration devient évidente et quasi-immédiate (... et élégante, mais ça c'est subjectif !).

Cordialement

[invite9dc7b526]

(Mais on pourrait définir l'égalité directement sans introduire le concept (et le signe) d'inclusion, en utilisant seulement l'appartenance, non?)

oui mais c'est trivialement équivalent à la définition par la double inclusion.

de on passe à puis à qu'on peut réécrire

((avec des parenthèses inutiles))

[Seirios]

Pour exwpliciter un peu l'idée de Seirios :

Tu prends un élément quelconque x de A, et en te servant des hypothèses, tu montres alors à l'aide de l'hypothèse qu'il appartient à B (indice : si il est dans A, il est dans A U B )

Tu aura ainsi montré l'inclusion A inclus dans B.

L'autre inclusion est similaire

On peut aussi le démontrer directement, sans avoir besoin de prendre un élément de A. (Mais l'argument est formellement identique, c'est juste que l'on peut conclure en écrivant une seule ligne d'inclusions.)

En utilisant la notion de fonction caractéristique d'un ensemble la démonstration devient évidente et quasi-immédiate (... et élégante, mais ça c'est subjectif !).

Je ne suis pas sûr de voir ce que tu as en tête. Est-ce que cela ne revient pas à écrire ?

[Médiat]

Bonsoir,

[PlaneteF]

Je ne suis pas sûr de voir ce que tu as en tête.

En fait ce que j'avais en tête c'était d'utiliser directement les formules :

et ce qui compte tenu de l'hypothèse mène à :




Cordialement