Bonjour,
Si on trouvait un ensemble (infini) des parties (infinies) de N qui soit égal à N (possédant les mêmes éléments que lui), cela remettrait-il en cause l'axiomatique P(N) > N ?
Ou, ce qui revient au même, existe-t-il dans P(N) un sous-ensemble qui soit égal à N ?
Merci.
Bonjour,
Oui : INexiste-t-il dans P(N) un sous-ensemble qui soit égal à N
PS Votre question n'est pas très claire (de quelle égalité parlez-vous, sous-ensemble veut-il dire sous ensemble de IN ou de P(IN) ? ...)
Dernière modification par Médiat ; 22/09/2017 à 08h24.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
L'ensemble des singletons de N.
Bonne journée.
si par "égal à" tu veux dire : "qui peut être mis en bijection avec" alors tu peux considérer pour chaque entier x l'ensemble Nx = N \ {x}. L'ensemble des Nx est bien en bijection avec N.Envoyé par akntn
Deux ensembles sont égaux s'ils possèdent les mêmes éléments (en plus d'avoir le même cardinal). A Médiat : il s'agit évidemment d'un sous-ensemble de P(N) et non de N. Par exemple : l'ensemble des suites 2n, 3n, 4n, 5n, ...
Bonjour
Dans ce cas, il n'y en a pas, il faudrait que, par exemple, 2 soit un élément de P(N), alors que c'est {2} qui est un élément de P(N)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui, je suis d'accord. J'ai confondu "union des parties d'un ensemble" avec "ensemble des parties d'un ensemble".
En fait, il faut trouver un ensemble tel que la réunion de ses parties soit égale à l'ensemble de ses parties. Théoriquement, c'est impossible, sauf si l'ensemble de ses parties est inclus dans la réunion de ses parties (ce qui nécessite qu'aucune partie de cet ensemble ne contienne un élément répété dans une autre).
Eh bien, sans vouloir offenser personne, je dirai que 2 et {2} ne sont pas différents. 2 n'est pas différent de son singleton.
Car {2} c'est 2 dans l'ensemble {0,1,2,3,4,5,...}.
Yes, mais un singleton est fini.
Prouve le. Dans toutes les définitions que je connais de 2, on n'a pas 2 = {2}, mais peut être que tu as une construction exotique des entiers en tête ( mais je pense plutôt que tu confond appartenance et inclusion)
EDIT : caramba, encore gratté par Tryss2...
Bonjour,
Je cite
"Eh bien, sans vouloir offenser personne, je dirai que 2 et {2} ne sont pas différents"
Des générations de mathématiciens se sont élevés contre cela.
Dans Bourbaki par exemple, l'ensemble qui contient l'ensemble vide a 1 élément, et a donc un cardinal différent de l'ensemble vide
Pour être plus consensuel, peut-être devrait-on se contenter de dire qu'il existe un isomorphisme canonique entre les deux...
Dernière modification par Resartus ; 24/09/2017 à 14h10.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Bonjour,
Ben, non, puisque les cardinaux sont différents : |2| = 2 alors que |{2}| = 1
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Salut,
Mais là ou cela devient bizarre, c'est que {{{2}}} est différent de {{2}} mais x={...{2}...} avec un nombre infini dénombrable d'accolade alors on a {x}=x.
Qu'en pensez-vous ?
Bonne journée.
Le singleton de 2 est 2 dans l'ensemble des entiers. Si je retire tous les entiers sauf 2, il reste son singleton, c'est à dire l'élément 2 de l'ensemble N. Si l'on veut différencier absolument 2 de son singleton, il faut supprimer l'accolade servant à circonscrire un ensemble : 0,1,2,3,4,5,6,7,... au lieu de : {0,1,2,3,4,5,6,7,...}.
Si je dis que 2 est un élément de N (ce qui est juste), impossible d'échapper au singleton dans la représentation conventionnelle.
Bonjour,
Comment montrez-vous que cet objet (x) existe ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ceci n'a aucun sens mathématique.
En tout état de cause 2 et {2} sont des objets différents, le premier est un élément de IN, pas le deuxième !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
L'ensemble x est un ensemble infini d'ensembles, dont le singleton a nécessairement le même cardinal que x (puisqu'il n'existe pas d'ensemble supérieur à aleph). De tels ensembles ont été impitoyablement éliminés par les mathématiciens.
Autant d'erreurs en une seule phrase : très fort !
Je pense que vous n'avez pas compris grand chose à la théorie des ensembles et ne peux que vous enjoindre à lire de bons documents sur le sujet (livre de Krivine, ou pdf de Dehormoy (sur le net))
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
N'a-t-il pas raison sur l'essentiel :
non ?
Bonne journée.
Là, Médiat, vous exagérez. Je ne comprends peut-être pas grand chose, mais au moins je tente de comprendre par moi-même. Si vous désirez que je devienne un bon élève, il faut opposer à mon argumentation débile de vrais arguments mathématiques.
Cordialement.
Commencez par lire de bons ouvrages (ceux que je vous ai conseillé ou d'autres), puis revenez poser des questions au lieu d'affirmer péremptoirement des choses manifestement fausses (ce qui vous apparaitra à la première lecture des ouvrages en question)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Akntn,
tu as vraiment pris des bâtons pour te faire battre ! Affirmer "que 2 et {2} ne sont pas différents" alors même que tu les écris différemment et que, tu le dis toi-même "Je ne comprends peut-être pas grand chose". Si tu avais eu une vraie raison de le dire (pas des arguments de bateleur qui parle sans savoir), tu aurais justifié immédiatement.
Si tu veux être "un bon élève" ou le devenir, il te faut commencer par bien réfléchir avant d'affirmer. Surtout sur un site de maths où interviennent des spécialistes de la question !!
Cordialement.
2 et {2} sont différents visuellement, non structurellement.
Si 2 et {2} sont différents structurellement, alors 2 est un élément de l'ensemble 0,1,2,3,4,5,6,7,... et non de l'ensemble {0,1,2,3,4,5,6,7,...} où 2 n'est pas différent de son singleton (2 est un élément de l'ensemble {...}).
gg0, trouve des arguments mathématiques, autres que du genre "commence par réfléchir au lieu d'affirmer", et je serai le premier à capituler. Contrairement aux apparences, je suis sensible à la raison.
Ce que te disent Médiat et gg0 c'est que dans les mathématiques admises par tous, x et {x} représentent des objets différents. Il n'y a pas à argumenter, c'est juste ainsi que les choses sont définies. Tu as le droit de ne pas aimer cela, et tu as aussi le droit de développer tes propres mathématiques mais dans ce cas tu t'isoleras de la communauté des mathématiciens.
Je ne savais pas qu'un élément de N pouvait avoir un cardinal. 2 est donc un ensemble ? (Mais sans doute que je n'ai pas compris ...). Le cardinal de {A} est égal à 1, OK, mais le cardinal de A ?
Akntn,
tu écris des phrases sans signification : "alors 2 est un élément de l'ensemble 0,1,2,3,4,5,6,7,... " ?? 0,1,2,3,4,5,6,7,. n'est pas un ensemble, c'est une liste, une succession d'entiers, une énumération incomplète, ...il y a plein de noms pour ça, mais pas le nom "ensemble". Même dans le langage courant, on fait la différence entre un ensemble et la liste des ses habitants.
En mathématiques, lorsqu'on peut lister les éléments d'un ensemble, on utilise les accolades. Ce qui fait que {2} est l'ensemble qui a un seul élément, 2, mais ce n'est pas 2, qui peut être défini mathématiquement comme un certain ensemble, justement à 2 éléments, pas 1.
Encore une fois, soit tu veux faire des maths, et tu apprends les notations. Soit tu veux maintenir ta position coûte que coûte, tu veux gagner, et tu ne fais plus des maths, seulement des polémiques stériles. J'ai un peu peur que, contrairement à ton affirmation "Contrairement aux apparences, je suis sensible à la raison", tu ne veuilles pas accepter les raisons des maths.
A toi de choisir.
A peut avoir n'importe quel cardinal.
Sinon, lune façon usuelle de construire les entiers par récurrence, c'est de poser :
(ou s est la fonction successeur)
Donc
Dernière modification par Tryss2 ; 26/09/2017 à 16h53.
Non, à l'évidence.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Donc il existerait dans ZFC, un ensemble x tel que {x}=x ?
(c'était de cette essentielle là dont je parlais, à moins que tu ne le contestes, alors j'attendrais que tu me donnes un tel exemple).
