Ensemble ouvert

[invite414aeef9]

Bonsoir,
Pourquoi en utilise la boule ouvert pour demontrer qu'un ensemble est ouvert . pourquoi pas une boule ferme ?
Merci.
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[pm42]

Pourquoi en utilise la boule ouvert pour demontrer qu'un ensemble est ouvert . pourquoi pas une boule ferme ?

On peut utiliser pas mal de choses pour démontrer qu'en ensemble est ouvert donc il faudrait préciser le contexte de ta question.
Parce que sinon, la réponse est "parce qu'avec la boule fermée, on démontre qu'un ensemble est fermé" notamment en revenant aux définitions.

[gg0]

Abdolah.bd1,

sans être grand clerc, on peut penser qu'avant de poser aux autres cette question, tu aurais pu en chercher la réponse dans ton cours (probablement la définition des ouverts, ou le lien avec les voisinages, dans un espace métrique). Peux-tu nous dire quelle est cette définition ?

Cordialement.

[invite414aeef9]

Un sous-ensemble non vide A de E est
qualifié d'ensemble ouvert si pour tout élément x de A il existe une boule
ouverte de centre x contenue dans A.
Pourquoi ouvert ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

Pourquoi ouvert ?

Parce que si tu prends une boule fermée autour de chacun des éléments, tu ne prouves rien et ton sous-ensemble peut-être un fermé ou n'importe quoi...
Tu as relu tes définitions ?

[gg0]

Il manque quelque chose à la définition, car dans n'importe quel espace métrique, la boule ouverte de centre x de rayon nul est contenue dans A (et pour cause, elle est vide). Toute partie A serait ouverte !

Sinon, dans cette définition, on a choisi de définir "ouvert" par les boules ouvertes; c'est assez logique, non ? En fait, il faudrait revenir à la notion d'intervalle ouvert de R pour voir l'origine de cette définition (à compléter ou rectifier).

Et bien entendu, il y a d'autres définitions possibles, équivalentes. Voir ton message sur un autre forum.