ensemble ouvert

[invite371ae0af]

bonjour,

je veux montrer que l'ensemble A est ouvert:
A={(x,y) dans R²; x>0 et x²+y>1}

je sais qu'il faut trouver une boule incluse dans A mais je n'arrive pas à trouver r
soit (a,b) dans B((x,y),r)
(x-a)²+(y-b)²<r²
donc j'ai r<x
mais après je ne sais pas

merci de votre aide
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[Tiky]

Bonjour,

Il y a plus simple. Tu peux montrer que c'est l'intersection de deux ouverts. Ces deux ouverts étant des images réciproques d'ouvert par des fonctions continues très simples.

[invite371ae0af]

je prend:
g:R dans ]0,+oo[
x-->x

f:R² dans ]1,+oo[
(x,y)-->x²+y

A=g^(-1)(]0,+oo[) inter f^(-1)(]1,+oo[)
donc A est ouvert car c'est une intersection d'ouvert

mais d'une manière générale comment montre-t-on qu'un ensemble est ouvert? par la définition avec la boule ou par l'image réciproque?

[invite57a1e779]

g:R dans ]0,+oo[
x-->x

f:R² dans ]1,+oo[
(x,y)-->x²+y

Tes applications ne sont pas définies : que valent f(0) et g(0,0) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

je n'ai pas compris ce que tu veux dire. Je suis obligé de prend x et (x,y) dans R et R² non? à cause de la définition de A qui est quelque soit (x,y) dans R²

[invite57a1e779]

Plusieurs problèmes :

Tu veux obtenir : avec une intersection d'ouverts, ce qui nécessite que et contiennent .

Or est contenu dans l'ensemble de définition de , et est contenu dans l'ensemble de définition de : les deux ensembles de définitions doivent contenir , ce qui n'est pas le cas si tu définis sur .

Ensuite, lorsqu'on définit (ou ...) de dans , tout élément de doit avoir une image dans . Tu as un problème au niveau de l'ensemble pour chacune des fonctions que tu définis.

[invite371ae0af]

si je prend pour g, x dans ]0,+oo[
pour f, (x,y) dans ]1,+oo[

est ce bon?

[invite57a1e779]

Non, il faut prendre :

[invite371ae0af]

je ne comprend pas:
dans la définition de A on veut x>0 et x²+y>1
si tu prend R comme ensemble d'arrivé on ne correspond pas à la définition de A?

[invite57a1e779]

On définit des applications et sur .

Lorsque appartient à , je peux dire que et appartiennent à , mais je ne peux pas être plus précis.

Par contre, la définition de est : , si, et seulement si, et ,

si, et seulement si et ,

ce qui me permet de conclure : .

[invite371ae0af]

merci de ton aide
j'ai compris

mais je me permet de répéter ma question:
d'une manière générale comment montre-t-on qu'un ensemble est ouvert? par la définition avec la boule ou par l'image réciproque?

[invite57a1e779]

Tout dépend de l'ouvert...
Lorsqu'il est défini par des conditions de type algébrique, il est souvent pratique de le décrire avec des images réciproques : ton exemple peut facilement s'adapter à des situations variées, avec plus de deux images réciproques, avec des mélange de réunion et d'intersection...
Lorsqu'il est défini de façon géométrique, l'approche par les boules peut être plus adaptée.

[invite371ae0af]

d'accord,
aurai tu un exemple d'ensemble défini de facon géométrique?