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ensemble ouvert



  1. #1
    369

    ensemble ouvert


    ------

    bonjour,

    je veux montrer que l'ensemble A est ouvert:
    A={(x,y) dans R²; x>0 et x²+y>1}

    je sais qu'il faut trouver une boule incluse dans A mais je n'arrive pas à trouver r
    soit (a,b) dans B((x,y),r)
    (x-a)²+(y-b)²<r²
    donc j'ai r<x
    mais après je ne sais pas

    merci de votre aide

    -----

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  4. #2
    Tiky

    Re : ensemble ouvert

    Bonjour,

    Il y a plus simple. Tu peux montrer que c'est l'intersection de deux ouverts. Ces deux ouverts étant des images réciproques d'ouvert par des fonctions continues très simples.

  5. #3
    369

    Re : ensemble ouvert

    je prend:
    g:R dans ]0,+oo[
    x-->x

    f:R² dans ]1,+oo[
    (x,y)-->x²+y

    A=g^(-1)(]0,+oo[) inter f^(-1)(]1,+oo[)
    donc A est ouvert car c'est une intersection d'ouvert

    mais d'une manière générale comment montre-t-on qu'un ensemble est ouvert? par la définition avec la boule ou par l'image réciproque?

  6. #4
    God's Breath

    Re : ensemble ouvert

    Citation Envoyé par 369 Voir le message
    g:R dans ]0,+oo[
    x-->x

    f:R² dans ]1,+oo[
    (x,y)-->x²+y
    Tes applications ne sont pas définies : que valent f(0) et g(0,0) ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  8. #5
    369

    Re : ensemble ouvert

    je n'ai pas compris ce que tu veux dire. Je suis obligé de prend x et (x,y) dans R et R² non? à cause de la définition de A qui est quelque soit (x,y) dans R²

  9. #6
    God's Breath

    Re : ensemble ouvert

    Plusieurs problèmes :

    Tu veux obtenir : avec une intersection d'ouverts, ce qui nécessite que et contiennent .

    Or est contenu dans l'ensemble de définition de , et est contenu dans l'ensemble de définition de : les deux ensembles de définitions doivent contenir , ce qui n'est pas le cas si tu définis sur .

    Ensuite, lorsqu'on définit (ou ...) de dans , tout élément de doit avoir une image dans . Tu as un problème au niveau de l'ensemble pour chacune des fonctions que tu définis.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  11. #7
    369

    Re : ensemble ouvert

    si je prend pour g, x dans ]0,+oo[
    pour f, (x,y) dans ]1,+oo[

    est ce bon?

  12. #8
    God's Breath

    Re : ensemble ouvert

    Non, il faut prendre :

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  13. #9
    369

    Re : ensemble ouvert

    je ne comprend pas:
    dans la définition de A on veut x>0 et x²+y>1
    si tu prend R comme ensemble d'arrivé on ne correspond pas à la définition de A?

  14. #10
    God's Breath

    Re : ensemble ouvert

    On définit des applications et sur .

    Lorsque appartient à , je peux dire que et appartiennent à , mais je ne peux pas être plus précis.

    Par contre, la définition de est : , si, et seulement si, et ,

    si, et seulement si et ,

    ce qui me permet de conclure : .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  15. #11
    369

    Re : ensemble ouvert

    merci de ton aide
    j'ai compris

    mais je me permet de répéter ma question:
    d'une manière générale comment montre-t-on qu'un ensemble est ouvert? par la définition avec la boule ou par l'image réciproque?

  16. #12
    God's Breath

    Re : ensemble ouvert

    Tout dépend de l'ouvert...
    Lorsqu'il est défini par des conditions de type algébrique, il est souvent pratique de le décrire avec des images réciproques : ton exemple peut facilement s'adapter à des situations variées, avec plus de deux images réciproques, avec des mélange de réunion et d'intersection...
    Lorsqu'il est défini de façon géométrique, l'approche par les boules peut être plus adaptée.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  18. #13
    369

    Re : ensemble ouvert

    d'accord,
    aurai tu un exemple d'ensemble défini de facon géométrique?

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