Intégrabilité/Convergence

[invitee351071a]

Bonjour,

Il y a une différence entre la convergence d'une intégrale et l'intégrabilité de sa fonction.

En particulier, je n'ai pas compris pourquoi on peut dire que sin(t)/t est semi-convergente.

D'après l'intégrale de Dirichlet en +∞,

intégrale (sin(t)/t) dt = -cos(x)/x - intégrale (cos(t)/t²) dt

On est sûr que cos(t)/t² est intégrable d'après Riemann (Ã* moins que ça ne s'applique qu'aux fonctions positives ?).

Alors est-ce que la non-intégrabilité de sin(t)/t est due au "-cos(x)/x" ?
Ou simplement au signe non constant ?

Merci de votre aide,

Cordialement,

Latinus.
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[Resartus]

Bonjour,
Pas très facile à lire, quand les caractères accentués sont maltraités par le mobile....

On parle de "semi-convergente" pour les séries, par opposition à absolument convergente. C'est pour rappeler que dans ce type de série, on ne peut pas permuter les termes. (il y a d'ailleurs un théorème qui dit qu'avec ce type de série on peut obtenir n'importe quelle valeur si on choisit judicieusement l'ordre des termes).

Mais il n'y a pas ce type de considération pour les intégrales. On dit simplement qu'elle sont "convergentes" sans "semi".

Et par ailleurs, je ne vois aucun problème avec sin(t)/t : ni en zero ni à l'infini. Elle est parfaitement intégrable (même si on dit parfois que les intégrales en l'infini sont des intégrales "impropres"). La primitive est d'ailleurs une fonction bien étudiée qu'on appelle sinus integral.

[invite23cdddab]

Sauf que la fonction sin(t)/t sur [0,+oo[ n'est pas intégrable, ni au sens de Riemann, ni au sens de Lebesgue.

Dans ces deux cas, pour donner un sens, il faut faire une limite d'intégrales, d'où le nom d'intégrale impropre et/ou généralisée. Mais ça n'est pas une "vraie intégrale" dans les deux cas

(Il me semble cependant que cette fonction est intégrable pour l'intégrale de Kurzweil-Henstock)