convergence uniforme qui n'entraine pas la convergence des intégrales

invite9f95f6e7 · 04/12/2012, 00h17

Bonjour tout le monde
je cherche un exemple ou la convergence uniforme de la suite n'est pas nécéssaire pour entrainer la convergence des intégrales
merci de m avoir aidée

inviteea028771 · 04/12/2012, 00h29

Par exemple, la suite $\text{[math]}$ sur [0,1]

Elle ne converge pas uniformément vers la fonction qui vaut 0 partout sauf en 1 ou elle vaut 1 (il y a un problème au voisinage de 1), mais il y a bien convergence des intégrales au sens ou :

$\text{[math]}$

Cet exemple (la fonction x^n) revient très souvent dans ces histoires de convergence

invite9f95f6e7 · 04/12/2012, 00h36

Merci pour la réponse !

invite9f95f6e7 · 04/12/2012, 14h01

salut
j'ai trouvé aussi la suite de fonctions : Un (x)= nx/ 1+n²x² sur [0,1]
elle converge simplement sur [0,1] mais elle ne converge pas uniformement
par contre
Lim S Un (x)dx = Lim 1/2n [ln(1+n²x²)] = Lim 1/2n *ln(1+n) =? ($)
(bornes entre 0 et 1 quand n tend vers l inf )
je suis bloquée ici
d autre part S Lim Un(x) dx = S 0 dx =0
et comme (Un) converge vers la fonction nulle soit U(x)= 0 ;alors S U(x)=0
remarque : S désigne l intégrale ici !
bref je suis bloquée pour calculer l intégrale $
merci pour l aide

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteea028771 · 04/12/2012, 15h24

L'intégrale de Un est assez facile à calculer, puisque Un(x) est, à un coefficient près, de la forme f'(x)/f(x)

invite9f95f6e7 · 04/12/2012, 15h36

oui ca m a donné 1/2n *ln(1+n²)
mais comment calculer la limite quand n tend vers l inf

inviteea028771 · 04/12/2012, 15h46

Ici c'est croissance comparée du logarithme et d'un polynôme

invite9f95f6e7 · 04/12/2012, 15h46

c'est à dire?

invite8ac20103 · 04/12/2012, 16h09

Bonjour,

Le polynôme "l'emporte" sur Le logarithme.

De même que L ' Exponentiel "l'emporte" sur le polynôme.

C'est du au theoreme des croissances comparées

invite9f95f6e7 · 04/12/2012, 16h09

merci ! j'ai trouvé la réponse

invited3a27037 · 04/12/2012, 16h49

bonjour

La suite de fonction fn converge simplement vers 0, mais pas uniformément, et l'intégrale converge malgré tout vers 0

convergence uniforme qui n'entraine pas la convergence des intégrales

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Re : convergence uniforme qui n'entraine pas la convergence des intégrales

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