sous groupe de Z/NZ
Bonjour,
Je souhaite prouver que tous sous groupes de Z/NZ est l’ensemble des multiples d’un diviseur de N ( de façon équivalente donc un ssi).
J’arrive aisément à prouver la réciproque, donc si M|N alors kM est un sous-groupe, mais dans l’autre sens, je n’ai qu’une démonstration un peu bancale s’appuyant sur plusieurs étapes comme de montrer que l’ensemble a forcement comme plus petit élément positif M, diviseur de N. Auriez vous une idée ?
Merci,
sleinininono.
Bonjour.
Comme ta preuve n'est pas rédigée, je ne peux dire si elle est correcte, mais c'est une voie souvent utilisée pour faire cette preuve. Maintenant, si tu la trouves "bancale", à toi d'en faire une preuve correcte. Ou, si tu n'y arrives pas, de nous la présenter qu'on puisse t'aider.
Cordialement.
Regarde la pré-image d'un tel sous groupe par la projection.
merci gg0 pour votre réponse.
je sais qu'elle est juste car c'est la méthode qu'on m'a recommandé. On m'a dit " fait comme pour prouver que les sous groupes de Z sont les NZ" et c'était la méthode pour le faire.
Néanmoins je trouve pas ça intuitif. Je me vois mal refaire ça seul. Ma question est donc existe t-il une méthode que je pourrai retrouver le jour où j'en aurai besoin?
encore merci
sleinininono
merci AncMath pour l'idée mais je vois pas ce qu'est qu'une projection dans la théorie des groupes... uniquement dans les Ev. Serait-il possible d'avoir plus de précision?
Dernière modification par sleinininono ; 18/10/2017 à 20h35.
La projection, c'est juste l'application de passage au quotient. C'est un morphisme de groupe, et si
"Néanmoins je trouve pas ça intuitif. " Pourquoi devrait-ce l'être ?
Et tu dis ça parce que tu n'as pas cherché toi-même à trouver quels sont les sous groupes de Z, tu aurais fini par avoir l'idée seul.
Les preuves des autres, ça n'est pas très "intuitif" !!
Ancmath, tu veux dire on projette Z sur le groupe quotienté ?
tu proposes de voir H sous groupe de Z/NZ. Donc on a à ce moment que l'ordre de H divise celui de Z/NZ et donc card H divise card N par le théorème de Lagrange.
Une des solutions correspond à associer à "card H" éléments, un élément N. C'est p^-1(H) ça non?
Vous proposez donc gg0 d'apprendre des démonstrations par coeur? Je cherche mais malheureusement je ne trouve pas toujours, ce qui est en occurrence le cas... c'est pour cela que je vous écris.
Une fois qu'on a compris une démonstration, inutile de l'apprendre "par cœur", on saura la retrouver. Si on a vraiment compris ce qui s'est passé. D'ailleurs, que la méthode soit rapide ou pas, on ne retrouvera pas une démonstration pas comprise.
Et tu fais un contre-sens sur ce que je t'ai dit ...
tu connais une autre façon de définir le quotient? peut-être que ton cours parle de surjection canonique au lieu de projection? de mon temps on disait comme ça.Envoyé par sleinininono
en fait j'ai pas réellement bien vu le groupe quotient. Je me le représente et je vois à quoi il correspond mais j'avais jamais pensé à l'associer à une projection. Mais c'est très habile.
J'ai toujours vu les projections dans un Ev, jamais en théorie des groupes.
Le groupe quotient je le voyais plus comme une translation d'un ensemble de départ. Mais effectivement c'est intéressant ce mode de pensée.
il faudrait peut-être commencer par là.
il y a deux façons de voir:
- l'une que j'appellerais "elémentaire" consiste, un certain entier n étant fixé, à définir sur Z une relation d'équivalence R (x R y ssi n divise x-y) et ensuite à définir d'abord l'ensemble Z/nZ des classes d'équivalence pour cette relation, et ensuite à le munir d'une structure de groupe (ou d'anneau).
- l'autre plus abstraite, qu'il vaut mieux voir dans le cadre d'un groupe général, qui consiste à considérer un groupe G et un sous-groupe H (vérifiant certaine condition) et à considérer tous les (homo)morphismes de G vers un autre groupe, dont le noyau contient H. Le quotient de G par H représente en quelque sorte ce qu'il y a de commun à tous ces morphismes (je ne développe pas ici ce serait trop long).
oui je vous suis complétement. Je n'arrive pas à expliquer comme ça mais j'ai assimilé ces deux notions.
Comment cela peut-il nous aider pour la question?
merci et bonne journée
sleinininono
La notion de quotient pose souvent problème aux étudiants quand ils la voient pour la première fois. Je pense que c'est parce qu'ils se focalisent sur la construction du quotient, alors qu'in fine la construction n'a quasiment aucun intérêt. La seule chose que tu as à savoir sur les quotients est la chose suivante.
Prend
1) Il existe un morphisme de groupe
2) Ce morphisme est surjectif.
3) Le noyau de ce morphisme est
4) Si
Ces propriétés ne sont d'ailleurs pas minimales, la 4 implique les autres.
Avec cela tu peux parfaitement "décrire" ton groupe
La construction sert à montrer qu'effectivement un tel groupe
Ces 4 propriétés sont suffisantes pour faire ton exo, et... tous les autres j'ai envie de dire, tu peux les prendre comme "définition" de ton groupe quotient.
Ici, si tu prend
Il te reste à décrire les sous groupes de
Dernière modification par AncMath ; 19/10/2017 à 11h33.
Souvent l'application
Re : sous groupe de Z/NZ
merci pour ces explications c'est vraiment propre !
pourriez vous simplement repréciser le 4ème point ? qu'est ce que T? en quoi l'application annule H si f(H) = 1?
par rapport à l'exercice en lui même :
quand vous écrivez K = p(p^-1 (K)), j’émets des doutes que la surjectivité soit suffisante...
on a par exemple cosinus qui est surjective.
arcos(cos(A) ne donne pas A... c'est vrai que cos(arcos(A) donne A, mais je vois pas pourquoi c'est lié à la surjectivité. cos arcos A donne A parce que arccos réduit l'ensemble d'arrivé qui fait qu'on est en bijection alors que arccos cos A a ce problème de bijectivité. Qu'en pensez vous?
mais en supposant que c'est vrai alors :
K sous groupe de Z/NZ, p projecteur, morphisme de groupe;
on se retrouve avec p^-1 (K) qui est un sous groupe. On sait aussi que dans p^-1 (K) on a les NZ. Donc ce sous groupe de Z est de la forme des multiples M de NZ donc N divise M.
On repasse par p et alors les sous groupes de Z/NZ sont les sous groupes générés par les diviseurs de N ; cette dernière étape est un peu obscure pour moi même si j'ai l'impression que c'est ce que l'on cherché.
merci pour cette méthode qui me semble vraiment super, qui correspond vraiment à ce que je cherchais. Si il vous est possible de rajouter les petits détails qui me manquent, ce serait parfait.
Merci encore et bonne journée,
sleinininono
ha ha! moi aussi j'ai failli écrire "morphismes qui s'annulent sur H" alors que dans un groupe général l'élément neutre est noté 1 et pas 0. Mais il n'existe pas de verbe "unuler" donc AncMath a écrit "annuler" pour signifier que l'image est l'élément neutre.
Ici,
Et 1 est le neutre dans le groupe, j'aurai pu le noter 0 l'expression annuler aurait alors été plus claire, mais dans un groupe non abélien il est assez malvenu de noter 0 le neutre.
Et bien prouve-le !par rapport à l'exercice en lui même :
quand vous écrivez K = p(p^-1 (K)), j’émets des doutes que la surjectivité soit suffisante...
Attention ici, tu fais une confusion entre deux choses. Arcos qui est une réciproque de cos sur un intervalle adéquat, et la notion d'application réciproque qui prend en argument les sous ensembles de l'ensemble image.on a par exemple cosinus qui est surjective.
arcos(cos(A) ne donne pas A... c'est vrai que cos(arcos(A) donne A, mais je vois pas pourquoi c'est lié à la surjectivité. cos arcos A donne A parce que arccos réduit l'ensemble d'arrivé qui fait qu'on est en bijection alors que arccos cos A a ce problème de bijectivité. Qu'en pensez vous?
Si c'est mystérieux écris proprement les chose.On repasse par p et alors les sous groupes de Z/NZ sont les sous groupes générés par les diviseurs de N ; cette dernière étape est un peu obscure pour moi même si j'ai l'impression que c'est ce que l'on cherché.
Je me replace dans le cas général. Si K est un sous groupe de G, alors p(K) est un sous groupe de G/H, et si K contient H il est très bien venu de le noter K/H. Si K est engendré par une famille S, alors bien sur K/H est engendré par p(S), c'est à dire engendre par les images par des éléments qui engendrent K. C'est une évidence mais encore faut il le noter.
Sur ton cas particulier ton sous groupe mZ de Z, engendré par un diviseur m de N a une image qui est engendrée par p(m).
Dernière modification par AncMath ; 19/10/2017 à 13h38.
Salut à tous et à Bidoof,
Si G est un sous-groupe Z/NZ alors M=o(G)|N.
Montre qu'alors G=<N/M> le groupe engendré par N/M (N divisé par M).
Bonne journée.
